El Movimiento armonico simple.

Experiencia N°5:

“Movimiento armónico simple y amortiguado”

[pic 2]

Integrantes: Hernán Lara

Sebastián Neira

Alex Ortega

Carolina Trujillo

Profesor: Marcel  López

Resumen:

En esta quinta experiencia se abordó el tema de movimiento armónico simple y movimiento armónico amortiguado, en dos actividades distintas. La primera consistió en una masa colgada ligada a un resorte en forma vertical que se hizo oscilar, se encontró de esta manera la gráfica posición vs tiempo de este movimiento armónico simple (M.A.S), y con esto se interpretó la ecuación itinerario para identificar sus constantes.

Por otra parte en la segunda actividad propuso determinar la relación funcional y con ello la ecuación de movimiento armónico amortiguado (M.A.A) por un sistema similar al de la primera actividad, pero esta vez, en una significativa presencia de roce al aire.

Introducción

Marco teórico

Movimiento armónico simple:

El movimiento armónico simple es aquel que corresponde a la ecuación a  donde “a” representa la aceleración de  la partícula, “x” su posición respecto al  punto de equilibrio y “k” es una constante de elasticidad esencialmente positiva. El análisis de este movimiento, ya sea mediante la integración de la  anterior ecuación diferencial[pic 3]

   [pic 4]

luego a través de la fórmula

   [pic 5]

 la expresión queda

 [pic 6]

que finalmente se expresa como:

 x(t) = A sen (ωt + Φ)

donde x representa la elongación, A la amplitud de movimiento, ω la   frecuencia angular del movimiento y Φ la fase inicial.

También se puede obtener

 ; siendo T el periodo del movimiento. [pic 7]

Movimiento armónico amortiguado:

Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a razonamientos, la descripción del movimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al caso del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de razonamiento proporcional a la velocidad, la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente:

[pic 8]

Donde  es la constante de amortiguamiento, donde θ es el ángulo que se genera y  es la frecuencia angular del movimiento. La solución de esta ecuación tiene la forma matemática de oscilaciones amortiguadas, es decir, oscilaciones en que la amplitud decrece con el tiempo. [pic 9][pic 10]

Sin entrar en la resolución de la ecuación, diremos que cuando el amortiguamiento es pequeño, la variación temporal del ángulo  con el tiempo, a la que designaremos   puede escribirse como:[pic 11][pic 12][pic 13]

= [pic 14][pic 15]

Debido a su presencia del término exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud se va reduciendo a medida que transcurre el tiempo; además, en ella aparece el termino  como frecuencia angular, cuyo valor seria: [pic 16]

[pic 17]

Lo que da como resultado que a partir de la ecuación se puede obtener el valor del  ángulo como función del tiempo por integración.  

Presentado el marco teórico, se da a conocer los objetivos de esta experiencia.

Objetivos:

.- Estudiar la relación entre período y la masa para un sistema masa-resorte sometido a un

   M.A.S.

.- Determinación de la ecuación itinerario del movimiento armónico simple,

.- Determinar la ecuación de movimiento, en el caso de un sistema armónico amortiguado.

Método experimental

Se procede a definir el modelamiento de ambos experimentos:

            Experimento 1                                             Experimento 2

[pic 18]

 
[pic 19]

Fig1. Se observa una masa colgando                                  Fig2. Se observa una masa sostenida de un cartón piedra

de un resorte y un sensor de movimiento.                                     o plumavit y un sensor de movimiento.

Materiales

Experimento I:

• Resorte
• Sensor de movimiento (sensibilidad 0,5)
• Masas
• Soporte universal

Experimento II:

• Resorte
• Sensor de movimiento (sensibilidad 0,5)
• Masa
• Soporte universal
• Placa de cartón

Desarrollo experimental

Exp.1 M.A.S: Para el primer experimento se arma el montaje tal como se indica en la figura 1., conectamos el sensor de movimiento a la interfaz, luego tomamos la masa unida al resorte y la estiramos una distancia  cualquiera (no tiene relevancia en este experimento), en consecuencia el resorte comienza un movimiento repetitivo de arriba hacia abajo (M.A.S). Le pedimos al programa Data Studio un gráfico Posición v/s Tiempo, le aplicamos un ajuste sinusoidal (debido al parecido de la trayectoria con la función seno) la cual nos dará la amplitud, periodo y fase movimiento necesario para calcular la ecuación itineraria y el coef. de elasticidad. Este proceso lo repetimos 3 veces con distintas masas unidas al resorte.

Exp.2 M.A.A: La experiencia presentada a continuación se trata de tener firme gracias al soporte un cartón sujeto con hilos a un resorte, luego de esto se procedió a colocar sobre este una masa, al mantener el equilibrio se hizo oscilar de arriba hacia abajo y con el programa “Data Studio” se presentó un gráfico de posición (m) v/s tiempo (s).

Resultados Obtenidos

Experiencia I

Grafico Posición v/s Tiempo

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Con los datos entregado por el Data Studio a través del grafico comenzaremos a desarrollar y reemplazar los valores en las fórmulas .

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