El concepto de algebra de Вoole
Enviado por andress2104 • 20 de Mayo de 2014 • Trabajos • 1.713 Palabras (7 Páginas) • 269 Visitas
ALGEBRA DE BOOLE
PAOLA ARDILA ARIZA
ANDRÉS LINARES GUTIERREZ
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
BOGOTÁ
2013
ALGEBRA DE BOOLE
PAOLA ARDILA ARIZA
ANDRÉS LINARES GUTIERREZ
LOGICA MATEMATICA
DOCENTE: DONALDO ELIAS SALAS SIADO
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
BOGOTÁ
2013
INTRODUCCIÓN
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought, publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.
Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta algebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.
El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 ó 1. Y las operaciones básicas son OR (+) y AND (•).
Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).
En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el ´algebra normal.
LEYES
En el álgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:
Conmutatividad:
X + Y = Y + X
X • Y = Y • X
Asociatividad:
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X • (Y • Z) = (X • Y) • Z
Distributividad:
X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)
X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z)
Elementos Neutros (Identidad):
X + 0 = X
X • 1 = X
Complemento:
X + X = 1
X • X = 0
Dominación:
X + 1 = 1 X • 0 = 0
Demostración:
X + 1 = (X + 1) • 1 = (X + 1) • (X + X)
(X + 1) • (X + X) = X + (1 • X) = 1
Idempotencia:
X + X = X
X • X = X
Doble complemento:
X = X
Absorción:
X + X • Y = X
X • (Y + X) = X
Demostración:
X + X • Y = (X • 1) + (X • Y) = X • (1 + Y) = X
De Morgan:
A • B = A + B
A + B = A • B
Luego se establecen los siguientes Teoremas:
Teorema de la Simplificación
A + A • B = A + B
A • (A + B) = A • B
Demostración:
A • Ā = 0
A • Ā + B = B
(A + B) • (Ā + B) = B
A • (A + B) • (Ā + B) = A • B
A • (Ā + B) = A • B
Teorema del complemento único
Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2)
A + A1 = 1 A + A2 = 1
A • A1 = 0 A • A2 = 0
Luego,
A1 = A1 • 1 = A1 • (A + A2) = A1 • A + A1 • A2
A1 = 0 + A2 • A1
A1 = A • A2 + A1 • A2 = (A + A1) • A2
A1
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