El desarrollo del álgebra lineal

Los primeros fundamentos de lo que hoy conocemos como álgebra lineal se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido también como el Libro de Cálculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un “ibis”.

Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados. Según el propio Ahmés, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de periodos más antiguos. Los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completación de cuadrados o sustitución, así como también ecuaciones cúbicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

Problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones lineales aparecen por primera vez aproximadamente en el año 300 a.C. en una tableas de Babilonia (actualmente partes de Irak).

Encontramos un desarrollo igual de interesante en China entre los años 200 y 100 antes de nuestra era. En un libro denominado Jiuzhang suanshu o Los Nueve Capítulos de las Artes Matemáticas, del cual no se conserva el original, aparecen por primera vez unos arreglos que permitían la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin necesidad de escribir las ecuaciones. Específicamente estos arreglos aparecen en el Capítulo Ocho, el cual lleva por título en chino Fang ch'eng el cual se puede traducir como Cálculo con tablas cuadradas.

Ciertamente, los primeros sistemas de ecuaciones lineales y algunos métodos para resolverlos, los cuales conocemos actualmente con nombres europeos, y se enseñan en la escuela aparecieron por primera vez en China siglos antes que en Europa

La idea de determinante fue publicada primero en Japón. El matemático japonés Takakazu Seki (1642-1798) publicó, en 1683, una obra titulada Método para Resolver los Problemas Disimulados en la cual introduce métodos matriciales similares a los usados por los matemáticos chinos antes de nuestra era y además introduce los determinantes. Seki fue un matemático muy brillante y produjo muchas ideas matemáticas antes de que fueran inventadas por matemáticos europeos. En el caso de los determinantes, Saki se adelantó unos diez años a Leibniz. Algunos autores afirman que este descubrimiento fue simultáneo pero independiente como veremos más abajo. Saki nunca usó un término que se correspondiera con la palabra “determinante”. Tenemos así que los primeros pasos en el desarrollo de conceptos y procedimientos que forman parte del álgebra lineal surgieron fuera de Europa y muchos antes de que matemáticos europeos se ocuparan de ellos

El desarrollo del álgebra lineal en Europa comienza en el siglo XVI. Cardano, en su libro Ars Magna, presenta una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales la cual denominó regula de modo. Esta regla de Cardano es fundamentalmente similar a la regla de Cramer para resolver un sistema 2 x 2 Cardano no logró una definición de determinante aunque en su trabajo se encuentra el germen para una definición.

El término “resultante” fue usado por Leibniz para nombrar unas sumas combinatorias de términos de un determinante. También presentó un resultado similar a la regla de Cramer. Además, hay evidencias de que conocía que un determinante podía ser expandido usando una columna, tal como lo que llamamos hoy la expansión de Laplace. Así como el estudio de los coeficientes de un sistema de ecuaciones le llevó al los determinantes, su estudio de los coeficientes de formas cuadráticas conduce a la teoría de matrices. En 1748 apareció publicado el libro de MacLaurin titulado Tratado del Álgebra, el cual escribió en 1730. En este libro, MacLaurin presentó los primeros resultados sobre determinantes demostrando la regla de Cramer para sistemas 2 x 2 y 3 x 3 e indicaciones de cómo funciona está regla para el caso 4 x 4. Fue en 1750, cuando el propio Cramer dio una regla general parasistemas n x n, sin demostración, en su artículo

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