Algebra Lineal Desarrollo Guia NUMERO 2

Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

SOLUCIÓN

Dejando como matriz ampliada:

(■(-1&&-4&&-11@&&&&@1&&-9&&1@&&&&@-1&&0&&6)│■(-15@@-8@@6))

f_2↔f_1

(■(1&&-9&&1@&&&&@-1&&-4&&-11@&&&&@-1&&0&&6)│■(-8@@-15@@6)) f_1+f_2 y f_1+f_3

(■(1&&-9&&1@&&&&@0&&-13&&-10@&&&&@0&&-9&&7)│■(-8@@-23@@-2))

-1/13 f_2

(■(1&&-9&&1@&&&&@0&&1&&10/13@&&&&@0&&-9&&7)│■(-8@@23/13@@-2))

9f_2+f_3

(■(1&&-9&&1@&&&&@0&&1&&10/13@&&&&@0&&0&&181/13)│■(-8@@23/13@@181/13)) 13/181 f_3

(■(1&&-9&&1@&&&&@0&&1&&10/13@&&&&@0&&0&&1)│■(-8@@23/13@@1))

-10/13 f_3+f_2 y -f_3+f_1

(■(1&&-9&&0@&&&&@0&&1&&0@&&&&@0&&0&&1)│■(-9@@1@@1))

9f_2+f_1

(■(1&&0&&0@&&&&@0&&1&&0@&&&&@0&&0&&1)│■(0@@1@@1))

Entonces el sistema de ecuaciones (1.1.) tiene solución única la cual es: {█(x=0@y=1@z=1)┤

SOLUCIÓN

Dejando como matriz ampliada:

(■(-7&&2&&-1&&4@&&&&&&@3&&-5&&-2&&-1)│■(10@@-9))

-1/7 f_1

(■(1&&-2/7&&1/7&&-4/7@&&&&&&@3&&-5&&-2&&-1)│■(-10/7@@-9))

-3f_1+f_2

(■(1&&-2/7&&1/7&&-4/7@&&&&&&@0&&-29/7&&-17/7&&5/7)│■(-10/7@@-33/7))

-7/29 f_2

(■(1&&-2/7&&1/7&&-4/7@&&&&&&@0&&1&&17/29&&35/841)│■(-10/7@@33/29))

2/7 f_2+f_1

(■(1&&0&&9/29&&-3294/5887@&&&&&&@0&&1&&17/29&&35/841)│■(-32/29@@33/29))

REVISAR↑

Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos

S = (1, -8, -2), Q = (-3, 0, -8), T = (5, -6, 1)

SOLUCIÓN

Como los tres puntos hacen parte de un mismo plano, los emergentes vectores (QS) ⃗ y (TS) ⃗ serían directores en dicho plano. Como los puntos son contenidos en el plano, estos son coplanares junto a los vectores directores. En consecuencia:

v ⃗=(QS) ⃗=S-Q=(1,-8,-2)-(-3,0,-8)=(4,-8,6) → vector director.

u ⃗=(TS) ⃗=S-T=(1,-8,-2)-(5,-6,1)=(-4,-2,-3) → vector director.

Teniendo a S, v ⃗ y u ⃗, para conseguir la ecuación del plano se procede:

{■(x=1+4μ-4τ@y=-8-8μ-2τ@z=-2+6μ-3τ)┤

Formando la expresión de determinante correspondiente, que produciría la ecuación del plano, buscada, entonces:

|■(x-1&4&-4@y+8&-8&-2@z+2&6&-3)|=0

→ [(x-1)(-8)(-3)+(4)(-2)(z+2)+(y+8)(6)(-4)]-[(-4)(-8)(z+2)+(-2)(6)(x-1)+(4)(y+8)(-3)]=0

∴

...