DESARROLLO CLASE A CLASE DEL CURSO ALGEBRA LINEAL

Clase Nº

Contenido

1

Presentación:  Programa, bibliografía, sistema de evaluación, uso de tecnología. 1.  Matrices: definiciones y notaciones básicas.  Uso práctico de las matrices. Matrices diagonales, triangulares, simétricas, antisimétricas.  Traza

2, 3

Operaciones con matrices:  Suma, multiplicación por escalar, producto y sus propiedades.

4

No conmutatividad del producto.  Definición de matriz invertible o no singular.  Ejercicios (Taller) de recapitulación.

Continuar con (*)  sin importar el orden.

5, 6

(*) Determinantes. Propiedades de los determinantes.  Cálculo de determinantes. Matriz adjunta. Caracterización de la inversa a través de los determinantes. Cálculo de la inversa usando la matriz adjunta.

7, 8

(*) Operaciones elementales fila.  Matrices escalonadas y escalonadas reducidas por filas. Rango de una matriz.

9, 10

Caracterización de las matrices invertibles a través del rango. Cálculo de la inversa usando operaciones elementales.  Matrices elementales y factorización LU.  Ejercicios (Taller)

11, 12, 13

2.  Sistemas de ecuaciones lineales: sistemas homogéneos y no homogéneos. Regla de Cramer. Ejemplos de aplicación de los sistemas a problemas prácticos.

14

3.  Espacios vectoriales: definición y ejemplos.  Modelos clásicos: [pic 1] C, [pic 2]

15

Subespacios vectoriales.  Intersección de subespacios.

16, 17, 18

Combinaciones lineales. Generadores.  Dependencia lineal.  Base.

19, 20

Dimensión. Coordenadas de un vector con respecto a una base (vector coordenado).

21, 22

Suma y suma directa.

23

4. Espacios con producto interior: Ejemplos de p.i. canónicos y otros. Norma, distancia y ángulo entre vectores.

24

Ortogonalidad:  Vectores y conjuntos ortogonales, Teorema de Pitágoras, Regla del paralelógramo. Complemento ortogonal,  [pic 3]

25, 26

Bases ortogonales (ortonormales) Proceso de ortogonalización de Gram-Schimdt.  Proyección ortogonal. Ejercicios revisión de la materia

27

5. Transformaciones lineales: Ejemplos. Aplicación lineal asociada a una matriz A : [pic 4],   aplicación identidad en V: [pic 5],  aplicación constante cero: [pic 6].

28

Teorema de existencia: Extensión de una transformación lineal definida en una base a todo el espacio.

29, 30

Núcleo, imagen, nulidad y rango de una aplicación lineal.

31,32

Isomorfismos: caracterización de las aplicaciones lineales biyectivas.  Espacios isomorfos.  Teorema fundamental para espacios vectoriales reales de dim finita.

33

El espacio  [pic 7] de las aplicaciones lineales de V en W.  La composición como producto.

34, 35

Matriz asociada a una transformación lineal: [T]. El isomorfismo  [pic 8].  Las matrices [T+S],  [[pic 9]T], [ToS]

36, 37

Caso General: Matriz asociada [pic 10].   Matriz de cambio de base.  

38, 39

Valores y vectores propios (polinomio característico). Diagonalización.

40

Ejercitación y/o revisión de la materia.