Formulas Cardano Ferrari

Las fórmulas de Cardano-Ferrari

Los métodos de resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inútiles que esta feo que un matemático no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de característica distinta de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0,

Ecuaciones cubicas

Empezamos enunciando el resultado general:

Teorema 1.1 (Formula de Cardano) Sea K un cuerpo de característica distinta de 2

o 3 y sean a, b, c ∈ K. Entonces, las raíces de la ecuacion

en una clausura algebraica de K vienen dadas por

Donde:

la raíz cuadrada de Δ se escoge arbitrariamente y, fijada ´esta, las raíces cúbicas u y v se escogen de modo que p = −3uv (es decir, se escoge una arbitrariamente y la otra se calcula mediante esta relación).

Notemos ante todo que la relación entre las raíces cúbicas es correcta, es decir, que si

es una raíz cúbica arbitraria del radicando y definimos v mediante p = −3uv, entonces

En efecto, elevando al cubo vemos que p3 = −27(−q/2 + √Δ)v3, luego

como queríamos probar.

Ecuaciones cuarticas

El caso de los polinomios de cuarto grado es más complicado:

Teorema (Ferrari) Sea K un cuerpo de característica distinta de 2 o 3 y sean a, b, c, d ∈ K. Entonces, las raíces de la ecuacion

en una clausura algebraica de K vienen dadas por

Donde, llamando

P es la raíz de la ecuacion

y Q, R se determinan mediante las ecuaciones

En la prueba veremos, más concretamente, que, si q 6= 0, la primera ecuacion de (19) es redundante, de modo que, a partir de una solución P de (18), la tercera ecuacion de (19) nos da un valor para R, necesariamente no nulo, y la segunda ecuacion nos da un valor para Q que necesariamente cumplirá la primera ecuacion. Si q = 0 el sistema (19) tiene también una solución fácil de calcular, pero enseguida veremos que en este caso hay un procedimiento más rápido para encontrar las raíces de la ecuacion. En efecto, el cambio de variable

Nos lleva a la ecuacion incompleta

Donde p, q, r son los dados por (17). Así, si q = 0, tenemos lo que se conoce como una ecuacion bicuadrada, cuyas raíces cumplen:

Luego las cuatro raíces de (16) son

Resolución de cúbicas mediante raíces reales

Hemos visto que, cuando una cúbica tiene tres raíces reales simples, la fórmula de Cardano las expresa como suma de dos raíces cúbicas imaginarias conjugadas. Sin embargo, en los ejemplos que hemos presentado, al final hemos expresado dichas raíces en términos de raíces cuadradas reales, pero ello ha sido gracias a que en dichos ejemplos siempre había al menos una raíz entera (hubiera servido igualmente que fuera racional) lo cual nos permitía factorizar la ecuacion y aplicar la fórmula de las ecuaciones cuadráticas. En general, al aplicar Δ < 0 solo obtenemos aproximaciones decimales de las raíces (salvo que podamos calcular algebraicamente los cosenos involucrados). Cabe preguntarse si es posible obtener en general expresiones para las raíces en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas de números positivos, pero sucede que la respuesta es negativa salvo en el caso trivial que hemos considerado en los ejemplos, es decir, cuando al menos una de las raíces es racional (si partimos de un polinomio con coeficientes racionales). Concretamente, vamos a demostrar el teorema siguiente:

Teorema.-Sea K un subcuerpo del cuerpo de los números reales, y consideremos una cúbica con coeficientes en K que cumpla Δ < 0 y que no tenga raíces

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