Formulas Cardano Ferrari
Enviado por Olivercito220692 • 17 de Septiembre de 2014 • 635 Palabras (3 Páginas) • 551 Visitas
Las fórmulas de Cardano-Ferrari
Los métodos de resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inútiles que esta feo que un matemático no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de característica distinta de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0,
Ecuaciones cubicas
Empezamos enunciando el resultado general:
Teorema 1.1 (Formula de Cardano) Sea K un cuerpo de característica distinta de 2
o 3 y sean a, b, c ∈ K. Entonces, las raíces de la ecuacion
en una clausura algebraica de K vienen dadas por
Donde:
la raíz cuadrada de Δ se escoge arbitrariamente y, fijada ´esta, las raíces cúbicas u y v se escogen de modo que p = −3uv (es decir, se escoge una arbitrariamente y la otra se calcula mediante esta relación).
Notemos ante todo que la relación entre las raíces cúbicas es correcta, es decir, que si
es una raíz cúbica arbitraria del radicando y definimos v mediante p = −3uv, entonces
En efecto, elevando al cubo vemos que p3 = −27(−q/2 + √Δ)v3, luego
como queríamos probar.
Ecuaciones cuarticas
El caso de los polinomios de cuarto grado es más complicado:
Teorema (Ferrari) Sea K un cuerpo de característica distinta de 2 o 3 y sean a, b, c, d ∈ K. Entonces, las raíces de la ecuacion
en una clausura algebraica de K vienen dadas por
Donde, llamando
P es la raíz de la ecuacion
y Q, R se determinan mediante las ecuaciones
En la prueba veremos, más concretamente, que, si q 6= 0, la primera ecuacion de (19) es redundante, de modo que, a partir de una solución P de (18), la tercera ecuacion de (19) nos da un valor para R, necesariamente no nulo, y la segunda ecuacion nos da un valor para Q que necesariamente cumplirá la primera ecuacion. Si q = 0 el sistema (19) tiene también una solución fácil
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