La definición de la varianza muestral

El supuesto fundamental es que la población tiene distribución normal con media y varianza . De esta población se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n.

La varianza de la muestra se define como:

Si se multiplica por n/ se obtiene:

(1.1)

La expresión (1.1) es similar a:

(1.2)

que tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. La única diferencia es que en el uno interviene la media muestral (x) y en el otro la media poblacional ( ). Por lo tanto, la pregunta es si la expresión (1.1) también tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.

que tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. La única diferencia es que en el uno interviene la media muestral (x) y en el otro la media poblacional ( ). Por lo tanto, la pregunta es si la expresión (1.1) también tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad.

Recordemos que una variable aleatoria con distribución normal estándar, elevada al cuadrado, tiene distribucion chi-cuadrado y sus grados de libertad dependen del número de observaciones.

Si una variable aleatoria X tiene distribución normal, N(,), por el teorema central del límite:

(1.3)

Para hacer la demostración partimos de la expresión (1.2), a la que se le resta y se le suma la media muestral:

Desarrollando el binomio y aplicando propiedades de la suma se obtiene:

Por propiedades de la media:

Despejando:

Por lo tanto,

(1.4)

Es decir que la sustitución de la media poblacional por la media muestral reduce en 1 los grados de libertad de la chi-cuadrado. Lo anterior nos indica que cada vez que se reemplaza un parámetro por un estimador, se reduce en 1 los grados de libertad de la distribución chi-cuadrado.

Si se utiliza la varianza corregida,

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