Lecciones De Fisica Moderna

Lecciones

de

F´ısica Matem´atica

Alonso Sep´ulveda S.

Instituto de F´ısica

Universidad de Antioquia

Medell´ın, Agosto de 2004

Colecci´on Ciencia y Tecnolog´ıa

c Alonso Sepu´lveda

c Editorial Universidad de Antioquia

ISBN: xxxxxxxxxx(volumen)

ISBN: xxxxxxxxxx(obra completa)

Dise˜no de cubierta: xxxxxxxxxx

Dibujos interiores: Giovanny Atehort´ua

Dise˜no interno y diagramaci´on: xxxxxxxxxx

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A mis estudiantes

Prefacio

Las leyes b´asicas de la f´ısica son invariantes, en su forma matem´atica, bajo un

conjunto bastante general de transformaciones, dependientes de las caracter´ısticas

del espacio y el tiempo en que ocurren los fen´omenos f´ısicos. En el marco de la

f´ısica newtoniana estas leyes tienen la misma forma matem´atica en todos los sistemas

coordenados que difieren uno respecto al otro en la Posici´on de su origen

coordenado. Esta exigencia proviene del postulado de homogeneidad del espacio

euclidiano y, conduce a la conservaci´on del momento lineal. La forma matem´atica

de las leyes se preserva tambi´en en los sistemas coordenados que s´olo difieren por

su Orientaci´on, y esta propiedad indica la isotrop´ıa, es decir la equivalencia de las

diferentes direcciones del espacio euclidiano, que implica la conservaci´on del momento

angular. Tambi´en las leyes f´ısicas son invariantes respecto a la escogencia del

cero de la coordenada temporal, vale decir, son las mismas en todos los instantes,

lo que corresponde a la homogeneidad del tiempo en la f´ısica cl´asica: todos los instantes

son cualitativamente id´enticos. Implica la conservaci´on de la energ´ıa. Es

cierto adem´as que las leyes preservan su forma en los m´ultiples sistemas de referencia

en movimiento relativo uniforme, lo que equivale a la aceptaci´on del principio

de inercia y a la imposibilidad de encontrar el reposo absoluto en el espacio; este es

el principio de relatividad especial si adem´as se exige la existencia de una velocidad

invariante, la de la luz.

Estas amplias invarianzas de las leyes f´ısicas (hay otras, como simetr´ıas de reflexi

´on, de inversi´on, o a´un m´as abstractas como las de cambio de signo de las cargas

el´ectricas) exigen una forma de escritura matem´atica que exprese su invarianza ante

estos conjuntos de transformaciones. Ello se logra en el ´ambito de la f´ısica newtoniana

mediante la implementaci´on del an´alisis vectorial 3-dimensional, el que hace

manifiestos estos diversos principios de relatividad posicional, de orientaci´on y de

movimiento.

Por ello comenzaremos este curso proponiendo las bases del an´alisis vectorial

3-dimensional, independientemente de la escogencia espec´ıfica de un sistema de

coordenadas, lo que garantiza la id´entica escritura de las leyes en todos ellos y

i

ii PREFACIO

permite expresar matem´aticamente las invarianzas del mundo. Consecuentemente,

en los desarrollos del cap´ıtulo 1 propondremos las formas generales, en coordenadas

curvil´ıneas ortogonales, de las operaciones diferenciales b´asicas: gradiente,

divergencia, rotacional y laplaciano, junto con las nociones elementales sobre transformaciones

continuas y discontinuas. Lo finalizamos con un estudio de las funciones

delta de Dirac y con la construcci´on de algunos sistemas coordenados.

Puesto que las leyes f´ısicas se expresan usualmente como ecuaciones diferenciales

(ED), exploraremos en el cap´ıtulo 2 las condiciones iniciales y/o de frontera bajo

las cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP) gozan de

una soluci´on ´unica. Estos teoremas de unicidad har´an parte en el cap´ıtulo siguiente

de una clasificaci´on general de las ecuaciones diferenciales.

En el cap´ıtulo 3, despu´es de una breve revisi´on de las t´ecnicas de soluci´on de las

EDO homog´eneas m´as simples, exploraremos la t´ecnica de separaci´on de variables

que permite en muchos casos descomponer las EDP en un conjunto de EDO, cuya

estructura desarrollaremos en el cap´ıtulo 6. De la ecuaci´on de Laplace, en particular

y en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, haremos la separaci´on de variables que conducir

´a a las ecuaciones de Bessel y Legendre. Terminaremos con una clasificaci´on

bastante general y en tres familias, de las EDP lineales: el´ıpticas, hiperb´olicas y

parab´olicas, cuyas condiciones de unicidad fueron exploradas en el cap´´tulo anterior.

En el cap´ıtulo 4 deducimos algunas de las ecuaciones de uso corriente en la

f´ısica matem´atica: la ecuaci´on de ondas para cuerdas, membranas y sonido, y de

vibraciones en s´olidos, de conducci´on del calor, Poisson, Schr¨odinger, y proponemos

las ecuaciones de Maxwell. Las primeras son exponentes t´ıpicas, de ecuaciones

hiperb´olica, parab´olica y el´ıptica. Estas ecuaciones ser´an aqu´ı expresadas en la forma

invariante desarrollada en el primer cap´ıtulo, lo que las hace aptas para ser

escritas en cualquier sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales.

Es cierto que una muy amplia familia de ecuaciones diferenciales presenta soluciones

expresables como combinaciones lineales de funciones. Esto da la idea de

ampliar la noci´on de espacios vectoriales (en los que un vector es expresable como

una combinaci´on lineal de vectores de una base) extendi´endola hacia lo que

ser´an espacios de funciones, o espacios de Hilbert, en los cuales los vectores unitarios

son funciones linealmente independientes. En el cap´ıtulo 5 exploraremos los

espacios de Hilbert discretos y continuos, detallando las propiedades de ortogonalidad

y completez de sus infinitos ejes. Veremos c´omo la idea de vector ordinario

en espacios 3-dimensionales se extiende para permitir la expansi´on de funciones en

espacios abstractos, cuyo ejemplo m´as conocido es la serie de Fourier, a cuyo estudio

dedicaremos la ´ultima parte del cap´ıtulo.

Los desarrollos del cap´ıtulo 3, donde hemos mostrado la posibilidad de descomponer

las EDP en un conjunto de EDO, alcanzan en el cap´ıtulo 6 un cl´ımax, en tanto

que en ´el lograremos demostrar que todas las EDO lineales de segundo orden tienen

iii

una arquitectura com´un que est´a compendiada en la teor´ıa de Sturm-Liouville.

El estudio que aqu´ı haremos enlaza ideas exploradas en cap´ıtulos anteriores, pues

muestra que bajo una apropiada escogencia de condiciones de frontera y del dominio

de la variable independiente, las EDO exhiben un conjunto infinito de soluciones

ortogonales que corresponden a bases de un espacio de Hilbert, de an´aloga manera

a como los vectores unitarios de la base cartesiana expanden un espacio vectorial

ordinario. Veremos aqu´ı c´omo la noci´on de autovalores, tan cara a la mec´anica

cu´antica y a la teor´ıa de matrices, est´a asociada a la existencia de espacios de

Hilbert. Consideramos que este cap´ıtulo es el centro de esta obra en tanto que cada

una de sus conclusiones ilumina, desde la teor´ıa de espacios, el tema general de

las soluciones a las EDO y aclara los temas relativos a las frecuencias naturales

de oscilaci´on de sistemas cl´asicos o cu´anticos, como un espectro de autovalores. La

teor´ıa de Sturm-Liouville describe las frecuencias espec´ıficas de oscilaci´on de una

cuerda o las frecuencias de emisi´on de los ´atomos. Despu´es de extender estas consideraciones

a las EDP finalizamos el cap´ıtulo con un tema sugestivo: el isomorfismo

entre operadores diferenciales y matrices, que est´a en el centro de la equivalencia

matem´atica entre la mec´anica ondulatoria de Schr¨odinger y la mec´anica matricial

de Heisenberg.

Ahora bien: puesto que muchas de las ED que utilizamos en f´ısica son inhomog

´eneas es pertinente introducir m´etodos de soluci´on que vayan m´as all´a de los

utilizados para las ED homog´eneas y de los conocidos m´etodos de variaci´on de

par´ametros o coeficientes indeterminados. Por ello en el cap´ıtulo 7 introducimos

las funciones de Green, cuyo alcance est´a limitado a los casos lineales, pero cuya

aplicaci´on a los problemas f´ısicos se extiende desde la f´ısica cl´asica a la cu´antica,

independientemente de la dimensi´on del espacio.

La teor´ıa de Sturm-Liouville es, ciertamente, la gran arquitectura de las ED

lineales, pero ella misma no

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