Ley De Coseno

Ley del Coseno

Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple la relación:

2 2 2 c a b ab cosC = + − 2

(Observe que la relación es simétrica para los otros lados del triángulo.)

Para demostrar este teorema, dibujemos nuestro triángulo ABC, y tracemos la

altura AD hacia el lado BC.

Es fácil observar que el triángulo ABD es rectángulo en D. Por lo tanto, por el

teorema de Pitágoras, tenemos que:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

c AD BD

c AD ( a CD)

c a ( AD CD ) aCD

CD c a b ab cosC   Note  que cosC .

b

= +

= + −

= + + −

  = + − =    

Aplicando el mismo procedimiento a los otros lados del triángulo obtenemos las

siguientes relaciones:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

c a b ab cosC 

a b c bc cos A

b a c ac cos B

= + −

= + −

= + −

No hay que olvidar la importancia de este teorema, pues nos puede servir en algún

momento para hallar las longitudes de ciertos lados de triángulos o en ocasiones

conocer la medida del ángulo que forma dos rectas.

Vemos cómo funciona, con unos cuántos ejemplos:

A B

C

D

b

c

aLey del Coseno 2

Ejemplo 1.

Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°.

Determine la longitud del tercer lado.

Solución.

Supongamos que a = 6, b = 10,

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