Topografia Ley Del Seno Y Coseno
Enviado por Poliana • 4 de Febrero de 2013 • 831 Palabras (4 Páginas) • 4.236 Visitas
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Enviado por: kechever3 30 agosto 2012
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Palabras: 2004 | Páginas: 9
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MARCO TEORICO
• TEOREMA DEL SENO.
El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces, relación con el área del triángulo
Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple.
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
En el triángulo AC´C se verifica de donde
h c = b × sen(A)
Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos
h c = a × sen(B)
Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión equivalente a
Igualmente podemos considerar los triángulos rectágulos AA´C y ABA al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos
De las expresiones obtenidas podemos deducir que
expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma.
El teorema es válido para cualquier tipo de triágulo.
En el triángulo obtusángulo de la figura si consideramos la altura h crelativa al vértice C, en el triángulo rectángulo AC´C resulta h c = b × sen(A) y en el triángulo rectángulo BC´C
sen(δ) = sen(180 - B) = sen(B) = h c/a
de donde h c = a × sen(B).
Igualando ambas expresiones obtenemos
Si consideramos la altura h a o bien h b y razonando de forma análoga obtenemos nuevamente la expresión.
A partir del Teorema del Seno podemos relacionar fácilmente una triángulo con la circunferencia circ
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unscrita al mismo.
Si consideramos el triángulo ACB y es BM = d el diámetro de la circunferencia circunscrita, el triángulo BMC es recto en C y los ángulos A y M son iguales (pues abarcan el mismo arco BC).
De todo ello resulta que sen(A) = sen(M) y como sen(M) = a/d
Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
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