Ley de hooke. Analizar, con base a evidencias experimentales

LEY DE HOOKE

Objetivo General

Analizar, con base a evidencias experimentales, la dinámica de un sistema masa-resorte dentro del contexto de la Ley de Hooke.

Objetivos Específicos

• Determinar analítica y gráficamente el estiramiento por unidad de masa del resorte.
• Determinar, basándose en la ecuación teórica del  período del sistema masa-resorte,  la aceleración de gravedad.
• Obtener, a partir de la gráfica T2(período al cuadrado) vs. M(masa),  la masa efectiva del resorte (m).
• Determinar analítica y gráficamente la constante elástica (K) del resorte.

Resumen Teórico

Ley de Hooke

Cuando se suspende una masa (M) de un resorte, se encuentra que la deformación que éste experimenta es proporcional al peso de la masa suspendida (Ley de Hooke). En la Figura 1 se muestra  inicialmente un sistema masa-resorte en equilibrio; posteriormente al aplicársele una fuerza F la masa cambió de posición debido al estiramiento del resorte, hasta quedar nuevamente en equilibrio a una distancia “y” de la posición inicial. Para esa condición se cumplirá, con base a lo expresado inicialmente,  que la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa (Fuerza Restauradora) viene dada por:

 (Expresión de la Ley de Hooke) (1)[pic 2]

Donde “y” es la deformación del resorte medida a partir de la posición de equilibrio del sistema, mientras que  “k” recibe el nombre de constante de fuerza del resorte. Por su parte,  el signo menos (-) indica que la fuerza restauradora del resorte tiene dirección opuesta al desplazamiento o deformación experimentada por el mismo. Ha de resaltarse que la expresión (1) es válida solamente cuando la fuerza externa no exceda el  Límite Elástico del resorte.

[pic 3]

Figura 1. Modelo ilustrativo de la  Ley de Hooke.

Movimiento Armónico Simple

Si desplazamos el sistema masa-resorte en una pequeña cantidad respecto de la posición de equilibrio y lo dejamos oscilar, se puede notar que la única fuerza que actuará es la derivada de la acción restauradora del resorte, de allí que por la Segunda ley de Newton se obtendrá que:

 (2)[pic 4]

Se puede demostrar que la solución de la ecuación diferencial mostrada en (2), viene dada por:

(3) y [pic 5][pic 6]

Siendo  “A”  la amplitud de la oscilación,  “ω”  la  frecuencia angular y  “δ” la fase del movimiento, o ángulo para t = 0.

Ahora bien, si se llama “n” a la extensión del resorte por unidad de masa, se puede observar lo siguiente:

 (4)[pic 7]

 La expresión (4) representa la ecuación de una recta que pasa por el origen, cuya pendiente es “n”, la variable dependiente es “y” y la independiente es “M”. La gráfica de dicha función se muestra en la Figura 2.

[pic 8]

Figura 2. Modelo para la determinación de “n” en forma gráfica

Si en la Ecuación (1), consideramos que F es el peso, y si operamos con su módulo o magnitud, tendremos que:

 (5)[pic 9]

Por lo tanto, la última expresión de (2) toma la forma:   (6)[pic 10]

La solución de la ecuación (6) tiene la forma (3)  y  la frecuencia angular tiene la forma:   (7)[pic 11]

Se sabe además que el período (T) de un Movimiento Armónico Simple viene dado por:  (8); de modo que al sustituir en dicha  expresión el correspondiente valor de ω de la ecuación (7), obtenemos que:[pic 12]

 (9)[pic 13]

Ahora bien, el análisis anterior supone que la masa del resorte es despreciable frente a la masa suspendida de éste. Si hacemos una consideración exhaustiva de la situación debería tenerse en cuenta también la masa efectiva del resorte (m), por lo que la ecuación (9) quedaría expresada de la siguiente manera:

 (10), donde “m” es la masa efectiva del resorte[pic 14]

Elevando al cuadrado la ecuación 10, resulta:

(11)[pic 15]

Si se grafica, T2  en función de la masa M (Figura 3) se obtendrá una línea recta. A partir de este gráfico es posible determinar la aceleración de gravedad g y la masa efectiva del resorte “m”.

[pic 16]

Figura 3. Modelo Gráfico de T2 vs. M

Equipos y Materiales Requeridos

Resorte, Regla Graduada, y Cronómetro.

Procedimiento para la Recolección de los Datos

[pic 17]

Figura 4. Esquema para el Montaje para la práctica relativa la Ley de Hooke

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