Limite De Una Funcion

LIMITE DE UNA FUNCION

Los límites de una función son uno de los conceptos más utilizados en análisis matemáticos y otras ciencias exactas. Esto se debe a sus grandes aplicaciones y los beneficios que tiene el calcular el límite de una función. Calcular el límite de una función en un punto x significa acercarse a x por derecha y por izquierda tan cerca como uno desea y ver qué sucede. Si luego de acercarme por derecha y por izquierda vemos que el valor es el mismo, podemos decir que el límite en ese punto es ese valor.

La definición formal del límite de una función cuando x se aproxima a a es que para todo ε>0, por más pequeño que sea, existe un δ>0 que cumple que si 0<Ix-aI<δ entonces If(x)-LI<ε.

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valoresx, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

X se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha

x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1

f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31

f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función y cómo podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos .

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Las propiedades que aparecen a continuación vienen expresadas para x tendiendo a infinito pero son válidas para x tendiendo a un valor cualquiera.

1. Límite de una constante

2. Límite de una suma

3. Límite de un producto

4. Límite

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