Limite Funcional

Introducción

La presente investigación esta o será elaborada para el estudio e investigación en materia de cálculo y con relación a nuestra carrera.

Es importante resaltar que esta investigación tiene fines educativos y de carácter informacional para mayor comprensión y desarrollo de ideas productivas para la elaboración de determinados proyectos relacionados en la materia.

Recta tangente y área bajo la curvatura

Es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, \R^1.

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ecuación de la recta tangente

Noción de límite y límites laterales

El límite de la función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor a. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a α.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a a, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un número positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de a que cumplen la condición |x - a| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales.

Límite Por La Derecha

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

Si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.

Límite Por La Izquierda

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

Calculo Intuitivo de continuidad

Se puede analizar qué valores toma la función en valores próximos a -1 por derecha y por izquierda. Para ello, es conveniente la confección de una tabla donde se calculan las imágenes de los valores de x considerados:

x -1,01 -1,001 -1,0001 ... -1 ... -0,9999 -0,999 -0,99

f(x) 4,0501 4,005001 4,00050001 ... 4 ... 3,99950001 3,995001 3,9501

Puede observarse que cuando x se aproxima a -1 por valores menores que él, los valores de la función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen valores de x que se aproximan a -1 por valores mayores que él, la función se aproxima a 4. Los valores de la función están próximos a 4 para valores de x suficientemente cercanos a -1.

No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1.

Este comportamiento de la función puede observarse gráficamente:

Se expresa de la siguiente manera: "el límite de la función (x2 - 3x) es 4 cuando x tiende a -1".Simbólicamente:

.

Expresiones Indeterminadas.

Después de evaluar el límite de una función en un punto “a”, se obtiene una forma indeterminada como:

Se dice que el límite cuando la función tiende a éste punto es una “forma indeterminada”.Para poder evalúar el comportamiento de la función en el punto “a”, se debe hacer uso de reglas algebraicas tales como: La factorización, La racionalización y otras.De ésta manera se transforma nuestra función original en una nueva. Y ahí si podemos valorarla en éste punto.

Es importante recalcar, que no se debe confundir el cociente 0/r, donde r es cualquioer número diferente de cero, con una forma indeterminada, pues en éste caso el resultado es sencillamente “cero”

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto:

Limite Funcional

El límite de una función en un punto, que permite describir el comportamiento de una función al acercarnos a un punto de la recta real.

El hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Algebra de los límites

 Límite de una suma: , siendo a y b los límites respectivos de y

 Lo mismo sería si se tratara de una resta.

 Límite de un producto: , siendo a y b los límites respectivos

...