Logica Elemental

1. LÓGICA.

Un capítulo de lógica lo constituye la teoría de proposiciones, la cual se divide en dos ramas: La sintaxis, que se ocupa de la estructura y composición de las proposiciones y la semántica, que se ocupa de conceptos relacionados con la interpretación de las proposiciones; conceptos entre los que figuran el de validez, el de implicación y el de equivalencia entre proposiciones.

1.1 Proposición.

Una proposición lógica es una frase que tiene la propiedad de ser falsa o verdadera, y sólo una de estas posibilidades.

Para mencionar una proposición se usan las letras minúsculas: p, q, r, s,… en algunas ocasiones se usan dichas letras con subíndices: p1, p2, …, pk.

Ejemplos.

1. El conjunto de los números primos es finito.

2. 5+3=8.

3. -6 es un número negativo.

4. 7 es mayor que 8.

5. Los números reales son un campo ordenado.

Ejercicio.

1. Escriba 5 proposiciones simples.

1.1.1 Proposiciones compuestas.

Las proposiciones compuestas están constituidas por dos o más proposiciones simples, y las de uso más frecuente son: conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales.

Una conjunción es de la forma: p y q, una disyunción es de la forma: p o q, una condicional es de la forma: Si p …entonces q; y una bicondicional es de la forma p si y sólo si q.

Para representar dichas proposiciones simbólicamente, se utiliza respectivamente la siguiente notación: p  q, p v q, p  q y p  q.

Los símbolos , ,  y , se conocen como conectores lógicos, así podemos caracterizar a las proposiciones simples como aquellas que no contienen conectores lógicos.

En una condicional, la proposición p se llama antecedente o hipótesis y la proposición q se llama consecuente o tesis.

Llamaremos negación de la proposición p, a la proposición que tenga la forma: Es falso que p.

Ejemplos.

1. Es falso que 15 es un número primo.

2. No es cierto que 5 <3.

3. Es falso que si x>3, entonces x>1.

4. No es cierto que 3=4.

5. 100 es par y es múltiplo de 5.

6. 3>4 y 3+4= 7.

7. 3>4 pero 3+4=7.

8. 22 es par o es múltiplo de 2.

9. x<-2 o x>5.

10. x es racional o x es irracional.

11. Si un triángulo tiene un ángulo de 90°, entonces es un triángulo rectángulo.

12. Si x=y. entonces x+y es par.

13. Si x=0, entonces x+y=y.

14. Si x es múltiplo de 2, entonces x es par.

15. Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces las rectas son paralelas.

Ejercicio.

2. Escriba 2 proposiciones lógicas de cada una de las proposiciones compuestas que se han definido.

Para definir a las proposiciones compuestas, considere que p y q son dos proposiciones lógicas simples.

Definición.

• Una conjunción es verdadera cuando y sólo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas.

• Una disyunción es verdadera cuando y sólo cuando algunas de las proposiciones que la forman es verdadera.

• Una condicional es verdadera en cualquiera de los casos siguientes:

a. El consecuente es verdadero.

b. El antecedente es falso.

• Una bicondicional es verdadera si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.

Estas definiciones dan lugar a las siguientes tablas, llamadas tablas de verdad.

p q p  q p v q p  q p  q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

Algunas formas que se pueden usar para enunciar a las proposiciones condicionales son:

• p sólo si q.

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