Logica Proposiconal

PROPOSICIONES LÓGICAS

Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje

PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F)

Notación

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc.

Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

Proposición

q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V)

r: El número 15 es divisible por 3. (V)

s: El perro es un ave. (F)

t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F)

u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición

p: ¡Viva el Perú 1!

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón

No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones

Práctica Dirigida Nº 01

I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones:

a) 5 + 7 = 16 - 4 ( )

b) ¡Estudie lógica proposicional! ( )

c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( )

d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2 23 x 5 ( )

e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( )

f) 20 -18 = 2 ( )

g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( )

h) Un lápiz no es un cuaderno ( )

i) ¿Eres estudiante de matemática? ( )

j) 15 < 13 ( )

k) Ponga atención ( )

ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable". Ejemplos:

a) p: x es la capital del Perú

Sí x: Lima, Quito…

Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es verdadero (V)

Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F)

b) q: y + 4 = 11 , y es número natural

Y: 0; 1; 2; 3; 4;…..

Para q (1): 1+ 4 = 11 , es falso (F)

q (7): 8+4 = 11 , es verdadero (V)

Práctica Dirigida Nª 02

Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas y falsas

a) x es hermano de y

b) 28 < 15

c) El es arquitecto

d) Tenga calma ,no se impaciente

e) 9x + 3 = 12 , x R

f) x es Ingeniero y Juan es Matemático

g) 3x – 8 > 15 , x R

h) x + y 15 , x , y R

i) 2x + 5 > 11, x R

j) 3x + 7 = 11, x N

l) x es un animal

CLASE DE PROPOSICIONES

A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional .

Por ejemplo, sea la proposición

p: 3 + 6 = 9

B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples.

Ejemplo:

r: Pitágoras era griego y era geómetra

p q

encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.

Ejemplo:

p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto

Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples:

r: Juan es profesor y

s : Manuel es arquitecto

Es decir , p : r o s

CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan proposiciones simples

A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos

OPERACIONES PROPOSICIONALES

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:

1.-NEGACIÓN

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:

P : Diego estudia matemática

~p : Diego no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p ~p

V

F F

V

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo.

La negación de

p: todos los alumnos estudian matemática es

~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~p: hay alumnos que no estudian matemática

2.-CONJUNCIÓN

Símbolo Operación asociada Significado

~











Negación

Conjunción o producto lógico

Disyunción o suma lógica

Implicación

Doble implicación

Diferencia simétrica no p o no es cierto que p

p y q

p o q (en sentido incluyente)

p implica q, o si p entonces q

p si y sólo si q

p o q (en sentido excluyente)

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q")

Ejemplo.

Sea la declaración

i) 5 es un número impar y 6 es un número par



p q

vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

Tabla de verdad

p q p  q

V

V

F

F V

F

V

F V

F

F

F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7

q : Todo número par es múltiplo de dos

Entonces :

p q : 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos

Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera

3.-DISYUNCIÓN

Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q , se lee ” p o q “

Ejemplo 1.

Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera

Tabla de verdad

p q p  q

V

V

F

F V

F

V

F V

V

V

F

Ejemplo2

Si p : Hace frió en Invierno , y

q : Napoleón invadió Lima

p q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió

Lima

Por ser al menos una de la proposiciones verdadera la conjunción es verdadera

4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional.

Ejemplo.

Supongamos la implicación

i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro

p  q

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro

Nos interesa

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