LÍMITES

LÍMITES

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

Definición de límite

Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Teoremas fundamentales sobre límites

En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.

Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)

Sea una función definida en un intervalo tal que .

Si y entonces .

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.

Teorema 2

Si son números reales entonces

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a. con , en

b. con en

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Teorema 3

Si y es un número real entonces se cumple que

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

Teorema 4

Si entonces .

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites indicados.

1.

2.

Teorema 5

Si y son dos funciones para las que y entonces se cumple que:

Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.

Teorema 6

Si y son dos funciones para las que y entonces se cumple que

Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones. Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones

Corolario

Si entonces

Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:

(n factores)

Ejemplos:

1.

2.

En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del límite de . Es decir

Ejemplos:

1.

2.

Teorema 7

Si y son dos funciones para las cuales y entonces se tiene que:

siempre que

Teorema 8

siempre que

Ejemplos de los teoremas 7 y 8

1.

2.

3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)

4.

...