MOVIMIENTO ONDULATORIO

Para determinar cómo se mueve la cuerda, resolveremos la ecuación (2.43); más precisamente, encontraremos una solución que también satisfaga las condiciones impuestas por el sistema físico. Como la cuerda se fija en los extremos y , se tienen las dos condiciones en la frontera:

, . (2.45)

La forma del movimiento de la cuerda dependerá de la deflexión inicial (en ) y de la velocidad inicial (en ). Si en el tiempo la cuerda tiene la forma dada por , y la velocidad inicial es , obtenemos así las dos condiciones iniciales:

, (2.46)

Ahora el problema es encontrar una solución de (2.43) que satisfaga las condiciones (2.45) y (2.46). Para tal fin, se procederá de la siguiente manera:

Primer paso: Al aplicar el método de separación de variables, se obtendrán dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

Segundo Paso: Se determinarán soluciones de esas dos ecuaciones que satisfagan las condiciones de frontera.

Tercer paso: Se compondrán esas soluciones de modo que el resultado sea una solución de la ecuación de onda que satisfaga también las condiciones iniciales dadas.

A continuación desarrollaremos el método.

Primer paso: El método de separación de variables consiste en suponer que puede escribirse como el producto de dos funciones, cada una de las cuales solo depende de una de las variables y :

(2.47)

Si derivamos la expresión anterior obtenemos:

y

Al introducir estos resultados en la ecuación diferencial de la onda:

O bien, dado que la velocidad de propagación de la onda es:

Tenemos:

Dividiendo entre , se encuentra:

La expresión de la izquierda comprende funciones que sólo dependen de t, en tanto que la derecha contiene funciones que sólo dependen de x. Por lo tanto, ambas expresiones deben ser iguales a una constante, por ejemplo :

Esto inmediatamente produce dos ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, a saber:

(2.48)

(2.49)

Hasta aquí todavía es arbitraria.

Segundo Paso: Ahora se determinan soluciones y de modo que satisfaga las condiciones de frontera. Es decir:

Es evidente que si , entonces , lo cual no tiene interés alguno. Por tanto, , entonces:

(2.50)

(2.51)

Para , la solución general de (2.48) es y de (2.50) y (2.51) se obtiene , De donde , lo cual no tiene sentido alguno porque entonces . Para , positiva, la solución general de (2.48) es:

Y de (2.50) y de (2.51) se obtiene:

Entonces:

Y

Es decir, o bien . Como , debemos tener , con lo cual .

Así, la única posibilidad que nos queda es hacer que ( negativa). De esta manera, la ecuación (2.48) toma la forma:

Cuya solución general está dada por:

Teniendo en cuenta las condiciones de frontera (2.50) y (2.51), tenemos:

Con lo cual .

Con lo cual:

,

O bien:

, (2.52)

Así entonces, haciendo:

, n = 1,2,3… (2.53)

Se

...