Materiales elásticos

Introducción y sinopsis

Hace unos años, cuando se acercaba el milenio, países y ciudades de todo el mundo volvieron sus mentes a proyectos de construcción icónicos. En Gran Bretaña había varios. Uno era, bueno, es un nuevo puente peatonal que cruza el río Támesis, que une la Catedral de San Pablo con el Museo de Arte Moderno frente al otro lado del río. El diseño era, oops, es atrevido: un puente colgante con cables de suspensión que apenas se elevan por encima del nivel de la plataforma en lugar del gran barrido ascendente habitual. El resultado fue visualmente llamativo: un elegante, delgado, que se extiende como un "haz de luz" (las palabras del arquitecto). Solo un problema: no era lo suficientemente rígido. El puente se abrió, pero cuando la gente caminó sobre él, se balanceó y se tambaleó tan alarmantemente que se cerró rápidamente. Un año y $ 5 000 000 más tarde reabrió, muy modificado, y ahora está bien. Lo primero en lo que tiende a pensar con las estructuras, incluidos los puentes, es la fuerza que no deben caer. La rigidez, a menudo, se da por sentado. Pero, como relata la historia del puente, eso puede ser un error: la rigidez es importante. Aquí exploramos el diseño con rigidez limitada y la elección de materiales para lograrlo. Esto implica el modelado de la respuesta del material en una aplicación dada. Los modelos pueden ser simples porque los criterios de selección que emergen son insensibles a los detalles de forma y carga. Los pasos clave son los de identificar las limitaciones que debe cumplir el material y el objetivo por el cual se medirá la excelencia de la elección. Vimos al comienzo del Capítulo 4 que hay ciertos modos comunes de carga: tensión, compresión, flexión y torsión. La carga en cualquier componente real puede descomponerse en alguna combinación de estos. Por lo tanto, tiene sentido tener un catálogo de soluciones para los modos estándar, que relacione la respuesta del componente con la carga. En este capítulo, la respuesta es la flexión elástica; en capítulos posteriores se cederá o se fracturará. No necesita saber cómo derivar todo esto, son resultados estándar, pero sí necesita saber dónde encontrarlos. Encontrará el más útil de ellos aquí; las fuentes enumeradas en "Lecturas adicionales" brindan más. Y, lo más importante, debe saber cómo usarlos. Eso necesita práctica, aquí también obtienes algo de eso. La primera sección de este capítulo, entonces, trata sobre soluciones estándar a problemas elásticos. El segundo es sobre su uso para derivar límites e índices materiales. El tercero explica cómo trazarlos en gráficos de propiedades de materiales. El último ilustra su uso a través de estudios de caso.

Solución estándar a problemas elásticos

El modelado es una parte clave del diseño. En la primera etapa conceptual, aproximada los modelos establecen si un concepto funcionará en absoluto e identifican la combinación de propiedades del material que maximizan el rendimiento. En encarnación etapa, valores de corchetes de modelado más precisos para los parámetros de diseño:

efectivo, desplazamientos, velocidades, flujos de calor y dimensiones de los componentes. Y en la etapa final, el modelado proporciona valores precisos para tensiones, tensiones y fallas probabilidades en componentes clave que permiten una selección optimizada de materiales y dimensionamiento.

Ya se han modelado muchas geometrías y patrones de carga comunes. El componente a menudo se puede modelar aproximadamente idealizándolo como uno de estos. No es necesario volver a analizar el rayo o la columna o el recipiente a presión; El comportamiento bajo todos los tipos comunes de carga ya ha sido analizado. Lo importante es saber que los resultados existen, dónde encontrarlos y cómo usarlos.

Esta sección es un poco tediosa (ya que los libros sobre la resistencia de los materiales tienden a ser) Pero los resultados son realmente útiles. Aquí están listados, definiendo las cantidades de entrar y los componentes a los que aplicar.  Extensión elástica o compresión Un esfuerzo de tracción o compresión σ F / A aplicado axialmente a un amarre o puntal de longitud Lo y el área de sección transversal constante A sufre una deformación ε σ / E. La cepa ε está relacionada la extensión δ por ε δ / Lo (Figura 5.1 (a)).

Así, la relación entre la carga F y la desviación δ es

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1. Una corbata con una sección transversal A cargada en tensión. Su rigidez es S F / δ. (b) Una viga de sección transversal rectangular cargada en flexión. La tensión σ varía linealmente de tensión a compresión, cambiando el signo en el eje neutro, lo que resulta en un momento de flexión M. (c) Un eje de sección transversal circular cargado en torsión.

La rigidez S se define como:

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Tenga en cuenta que la forma del área de la sección transversal no importa porque la tensión es uniforme sobre la sección. Doblado elástico de vigas

Cuando una viga se carga por un momento flector M, su eje inicialmente recto se deforma a una curvatura κ (Figura 5.1 (b))

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donde u es el desplazamiento paralelo al eje y. La curvatura genera una variación lineal de la deformación axial ε (y, por lo tanto, la tensión σ) a través de la sección, con tensión en un lado y compresión en el otro; la posición de tensión cero es el eje neutro.

La tensión aumenta con la distancia y desde el eje neutro. El material es más efectivo para resistir la flexión cuanto más lejos esté de ese eje, por lo que la forma de la sección transversal es importante. La teoría del haz elástico da la tensión σ causada por un momento M en un haz hecho de material del módulo E de Young, como

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donde I es el segundo momento de área, definido como:

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La distancia y se mide verticalmente desde el eje neutro y b(y) es el ancho de la sección en y. En el momento en que caracterizo la resistencia de la sección a la flexión, incluye el efecto tanto del tamaño como de la forma

En la Figura 5.2 se enumeran ejemplos de cuatro secciones comunes con expresiones para el área de sección transversal A y el segundo momento de área, I.

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Figura 5.2 Área de sección transversal y segundos momentos de secciones para formas de cuatro secciones.

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Figura 5.3 Desviación elástica de vigas. La desviación δ de un tramo L bajo una fuerza F depende de la rigidez flexural EI de la sección transversal y de la forma en que se distribuye la fuerza. La constante C1 se define en la ecuación (5.5).

La relación de momento a curvatura, M / κ, se llama rigidez flexural, EI. La figura 5.3 muestra tres posibles distribuciones de la Fuerza F, cada una de las cuales crea una distribución del momento M (x). La deflexión máxima, δ, se encuentra integrando la ecuación (5.3) dos veces para una M (x) particular. Para una viga de longitud L con una carga transversal F, la rigidez es:

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El resultado es el mismo para todas las distribuciones simples de carga; lo único que depende de la distribución es el valor de la constante C1; la figura enumera valores para las tres distribuciones. Encontraremos en la Sección 5.3 que la mejor opción de material es independiente del valor de C1 con el resultado feliz de que la mejor opción para una distribución compleja de cargas es la misma que para una simple.

Torsión de ejes

Un par, T, aplicado a los extremos de una barra isotrópica de sección uniforme genera un esfuerzo cortante τ (Figuras 5.1 (c) y 5.4). Para secciones circulares, el esfuerzo cortante varía con la distancia radial r desde el eje de simetría es

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donde K mide la resistencia de la sección a la torsión (el equivalente torsional a I, para flexión). K es más fácil de calcular para secciones circulares, cuando es igual al segundo momento de área polar:

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donde r se mide radialmente desde el centro de la sección circular. Para secciones no circulares, K es menor que J. La figura 5.2 proporciona expresiones para K para cuatro formas estándar.

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Figura 5.4 Torsión elástica de ejes circulares. La tensión en el eje y la torsión por unidad de longitud dependen del par T y de la rigidez torsional GK.

El esfuerzo cortante actúa en el plano normal al eje de la barra. Hace que la barra, con longitud L, gire a través de un ángulo θ. La torsión por unidad de longitud, θ / L, está relacionada con el esfuerzo cortante y el par por

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donde G es el módulo de corte. La relación de par a torsión, T / θ, por unidad de longitud, es igual a GK, llamada rigidez torsional.

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