Movimiento Circular (física)

MOVIMIENTO CIRCULAR

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, 

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, =s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, 

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo  '. El móvil se habrá desplazado = ' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular, 

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es  y en el instante t' la velocidad angular del móvil es '. La velocidad angular del móvil ha cambiado =' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento  -0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial 0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva -t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular  en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad  -0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad  -0 es el área bajo la curva  - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular  -0, y el valor inicial 0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular  en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular  es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular  del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

 -0=(t-t0)

o gráficamente, en la representación de  en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración  es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular  -0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad angular en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento  -0 del móvil entre los instantest0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

VELOCIDAD ANGULAR

Veamos el siguiente gráfico que representa un objeto P describiendo un movimiento circular, desde la posición P1 hasta la P2, tardando un tiempo t. Si unimos las posiciones del objeto con el centro de giro obtenemos su radiovector. En la figura se aprecia cómo el ángulo girado por el radiovector al cambiar de posición el cuerpo es n. Definimos la velocidad angular como:

El ángulo se mide en Radianes (rad) y el tiempo en segundos. Por eso la velocidad angular se medirá en rad/s en el S I.

Ejercicio 1:

Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala circular. Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros segundos, 120º a los diez segundos y 240º a los 20 s. Halla:

a) El ángulo recorrido en cada caso, expresado en radianes.

b) La velocidad angular del movimiento.

c) El tiempo que tardará la aguja en describir una vuelta completa.

Ejercicio 2:

Convierte en grados los siguientes ángulos expresados en radianes: B/2, B/4, B, B/3, 3B/2 y 2B.

VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL

Sabemos que el arco s de circunferencia girado (en metros), o sea, el camino recorrido por el objeto se puede calcular multiplicando el ángulo descrito n (en radianes) por el valor del radio (en metros). Por tanto es sencillo sustituir en la expresión de la velocidad angular:

Siendo v la velocidad lineal del objeto (el espacio recorrido s entre el tiempo t que dura el movimiento). Podemos decir que:

o bien que

Ejercicio 3:

Expresa las siguientes velocidades angulares en la unidad internacional: 300 rpm, 120 rps.

Ejercicio 4:

Una rueda de 15 cm de radio gira a 90 rpm. Halla su velocidad angular en rad/s y la velocidad lineal de un punto de su periferia.

Ejercicio 5:

Calcula la velocidad angular de los siguientes movimientos:

a) Rotación de la Tierra sobre su eje.

b) Aguja horaria de un reloj

c) Minutero de un reloj

d) Segundero de un reloj.

ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA

El movimiento circular uniforme es un caso "especial", pues posee aceleración. Esto parece un contrasentido, ya que te preguntarás: ¿Cómo un movimiento uniforme puede tener aceleración?

Hay aceleración debido al cambio continuo de dirección del vector velocidad a lo largo de todo el movimiento.

Dicha aceleración está siempre dirigida hacia el centro, por lo que se llama aceleración centrípeta. Por otro lado, este vector puede verse que es perpendicular (o normal) al vector velocidad en todo momento. Por ello también se le denomina aceleración normal. Su módulo se obtiene dividiendo el cuadrado de la velocidad entre el radio de la trayectoria:

FRECUENCIA Y PERÍODO DEL M C U

La frecuencia f es el número de vueltas dadas en un segundo. El período T es la magnitud inversa, es decir, el tiempo (en segundos) empleado en dar una vuelta completa.

Ejercicio 6:

Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto. Determina el periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración centrípeta.

FUERZA CENTRÍPETA

Ya vimos por la segunda ley de la dinámica que toda aceleración debe ser provocada por alguna fuerza. Así pues, la fuerza centrípeta es la fuerza que origina la aceleración centrípeta. Está dirigida hacia el centro de giro y se calcula multiplicando la masa del objeto en movimiento por la ac:

¿Serías capaz de hallar una fórmula para Fc, similar a la anterior pero en función de la velocidad angular?

¿Quién ejerce la Fc cuando giramos una piedra sujeta por una cuerda sobre nuestra cabeza? ¿Y cuando la Tierra gira alrededor del Sol? ¿Y para que la Luna describa su órbita en torno a la Tierra?

¿Cuáles son las unidades internacionales de la fuerza centrípeta y de la aceleración centrípeta?

¿Hay aceleración centrípeta en un movimiento

...