Mètodos De Paso Adaptivo

1.4 – Métodos de paso adaptativo

1.4.1 – Introducción

En un método numérico para resolución de EDO, en ocasiones es inconveniente mantener el paso de integración constante, como consecuencia del costo asociado con las operaciones a realizar. Cuando la solución varíe suavemente, convendrá adoptar un paso “grande”, mientras que cuando la misma varíe “rápidamente”, será conveniente adoptar un paso menor.

Los métodos de paso adaptativo plantean, además del cálculo de yn+1 y de f en cada paso de discretización, determinar el valor adecuado para el paso siguiente, de acuerdo al siguiente procedimiento:

1) Estimar el error local

2) Decidir si el valor calculado de yn+1 puede ser aceptado, o si se debe usar un paso más pequeño desde el punto anterior.

3) Determinar el tamaño del paso siguiente a usarse

1.4.2 – Implementación de métodos con paso variable

Se estudiará el error local con el objetivo de controlar indirectamente el error global cometido en la resolución de la EDO.

Considérese un método de un paso, de orden de consistencia p; el error local de truncamiento es:

(1)

( siendo es la solución exacta que pasa por (xn., ).

Remitiéndose al análisis de la evolución del error global realizado en 1.2.2, si el error local por unidad de longitud satisface

(2)

y las condiciones de unicidad de la solución se cumplen (f lipschitziana), entonces el error global de truncamiento satisface,

La estrategia a adoptar para la elección de cada paso deberá garantizar que se satisfaga la cota (2).

La primera dificultad que aparece detrás de esta estratregia es que el valor de no se puede calcular directamente de lo anterior porque generalmente la función de (1) no se conoce, aunque se asumirá que la misma varía suavemente.

El procedimiento que se usa para salvar la dificultad expuesta es tomar un paso H, estimar el error local cometido en , y utilizar dicha estimación para calcular el paso que se usará efectivamente.

Si es el error local estimado asociado con el paso H, entonces

(3)

y el error local producido por un paso es, asumiendo el mismo valor de .

(4)

La desigualdad (2) se puede satisfacer en caso que

Usando la estimación (3) para eliminar , se tiene que la elección

(5)

cumple con la cota del error local propuesta en (2).

En términos de costo de las operaciones, es conveniente tomar el mayor paso posible, pero como rechazar un paso puede resultar inadecuado, se toma:

El factor 0,8 es un factor de seguridad que compensa en parte las aproximaciones hechas al deducir el valor de en (5)

Observaciones:

1) Si se tiene >1 entonces H utilizado era menor de lo necesario, en vez de recalcular el paso se acepta el valor con (ya que el resultado se calculó con mayor precisión de la necesaria). Cuando un paso es aceptado se comienza el siguiente usando en lugar de H. (Siempre asumiendo que no varía demasiado en el intervalo, es decir que no es muy distinto a )

2) Si <1 entonces se debe repetir el paso con en vez de H.

3) Hay otras restricciones que deben ser impuestas a . Por ejemplo, si el mismo se vuelve demasiado pequeño, los errores de redondeo pueden hacer que los resultados obtenidos carezcan de valor.

Por otra parte, una longitud de paso demasiado grande no debe usarse, pues se podría perder alguna característica de la solución. El valor depende de cada problema y debe ser proporcionada por el usuario.

Es inconveniente cambios demasiado abruptos de la longitud del paso.

Usualmente se restringe el incremento del paso a un factor de 2.

Un factor por el cual se puede achicar el paso es difícil de asignar, pues si es muy grande entonces muchos pasos posteriores deberán ser rechazados. Un número sugerido es .

1.4.3 – Estimación del error local de truncamiento

A continuación se estudia el cálculo de la estimación , que quedó pendiente de la sección anterior.

Si se calcula por métodos de orden p y p+1, entonces la diferencia entre los valores calculados de por ambos métodos consiste en una buena aproximación del error local de truncamiento en el método de orden p.

Efectivamente, si se usan para denotar el método de orden p y respectivamente, se tiene que

(6)

y

(7)

Restando estas dos ecuaciones se obtiene ,

(8)

por lo cual una estimación del error local (mediante su parte principal) es,

(10)

Nótese que al ser calculada mediante un método de mayor orden de consistencia, será generalmente una mejor aproximación a que y por lo tanto deberá ser usada como valor de la aproximación .

Observación

En este caso se toma como el resultado obtenido usando el método de orden . Si el resultado de mayor orden es usado en los cálculos pero la selección del paso se basa en el esquema de orden menor, la solución calculada será más precisa que lo predicho por (4).

1.4.4 – Método de Runge Kutta con paso variable (RKF)

Siguiendo las ideas presentadas anteriormente para la estimación del error local, Fehlberg desarrolló un par de

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