Polinomio De Taylor
Enviado por H31Pozuelos • 25 de Marzo de 2014 • 669 Palabras (3 Páginas) • 229 Visitas
Primero se escribieron las funciones escritas en condiciones (i),(ii),(iii)
P(x)=A+Bx+Cx2 f(x) =Cosx
P´(x)= B+2Cx f´(x)= -Senx
P ´´(x)=2C f´´(x)= -Cosx
Tomando a=0, las condiciones se convirtieron en
P(0)=f(0): A=Cos0= 1
P´(0)=f´(0): B=-Sen0= 0
P´´(0)=f´´(0) 2C=-Cos0= -1 C= -1/(2)
La función cuadrática deseada es P(x)=1 -(1/2) x2, entonces las aproximación cuadrática es
Cosx=1 -(1/2) x2
La figura muestra la gráfica de la función Coseno junto con su aproximación lineal L(x)=1 y su aproximación cuadrática P(x)=1 -(1/2)x2 cerca de 0. Se puede apreciar que la aproximación cuadrática es más exacta que la lineal.
2. La aproximación a 0.1 significa que: abc(Cosx-(1 -(1/2) x2)) < 0.1 ↔ 0.1 >
(1 -(1/2) x2)-cosx>-0.1 ↔ cosx+0.1 > 1 -(1/2)x2 >cosx-0.1 ↔ cosx-0.1<
1 -(1/2)x2 < cosx+0.1.
De la gráfica se aprecia que es cierto en A y B encontramos que la coordenada en X de B y A esta cerca de ± 1.26. Esta aproximación coseno ~ 1-1/2 x^2 está cerca de 0.1 cuando -1.26 < x < 1.26.
3. Si P(x) = A+B (x-a) + C ( x-a)^2, entonces P´(x) = B+ 2c (x-a) y P´´(x) = 2c . Aplicando las condiciones (i), (ii) y (iii) , obtenemos
P(a) = F(a) : A=F(a)
P´(a) = F´(a): B=F´(a)
P´´(a) = F´´(a) : 2C = F´´(a) c =1/2 F´´(a)
Tenemos F (1) = 2, F´ (1) = 1/4 y F´(x) = 1/2 (x+3) ^-1/2 . entonces F´´ (x) = 1/4 ( x+3)^-3/2F´´(1) = -1/32 . Del paso 3 la aproximación cuadrática P(x) es √(x+3) ~ F(1) + F´ (1) (x-1) + 1/2 . La figura muestra la función F(x) = √(x+3) junto con su aproximación lineal
L(x) = (1/4) X + (7/4) y su aproximación cuadrática P(x). Se puede apreciar que P(x) es una aproximación más exacta que L(x), todo esto representa la siguiente tabla:
L(x) Valor Real P(x)
√(3.98) 1.995 1.99499373 1.99499375
√(4.05) 2.0125 2.01246118 2.01246094
√(4.2) 2.05 2.04939015 2.049375
5. Tn (x)= Cₒ+C1(x-a) +C2(x-a)2
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