Procesamiento de señales analógicas

Procesamiento Analógico de Señales

Los estudiantes deben leer y comprender los temas de la Unidad 1. E Investigan los temas necesarios para la solución de los ejercicios propuestos. Se trabajará reuniendo los conocimientos del tema, de cada uno de los integrantes del grupo, en una actividad colaborativa, donde los aportes individuales contribuyen a realizar el trabajo final. Se tendrá muy en cuenta la participación individual en el trabajo.

Todos los integrantes deberán leer, investigar y proponer soluciones a los ejercicios planteados.

〖f(t)=sen〗^2 (2t); para {-π<t<0┤

f(t)=0;para {t<-π y t>0┤

Se puede graficar en matlab con estos comandos:

function grafica

x=linspace(-pi,0,500)% dominio en el que queremos la funcion

y=[(1/2)-(cos(4*x)/2)];% la funcion

plot(x,y,'r'),grid % graficar

Para el cual obtendremos esta gráfica:

No encontré como elevar al cuadrado de seno en Matlab, por lo tanto utilice una de sus identidades Trigonométricas: 〖sen〗^2 (x)=(1-cos(2x))/2 remplazando por la función que quiero graficar 〖f(t)=sen〗^2 (2t); para {-π<t<0┤, obtendría esta nueva función 〖sen〗^2 (2t)=(1-cos(4t))/2

Ahora quiero implementar esta función en uno de los temas vistos en el módulo que es el sistema Lineal invariante en el tiempo (LTI) que también son aplicados en los sistemas de control análogo para ello aplicare un sistema de lazo abierto para obtener su gráfica.

Se hallara la función de transferencia de la función 〖f(t)=sen〗^2 (2t) la cual obtuve aplicando la transformada de Laplace a la ecuación 〖sen〗^2 (2t)=(1-cos(4t))/2 donde:

F(s)=L{(1-cos⁡(4t))/2}=L{1/2}-1/2 L{cos⁡(4t)}

F(s)=1/2s-s/(2(s^2+16))

F(s)=(2s^2+32-2s^2)/(4s(s^2+16))

F(s)=8/((s^3+16s))

Conocemos la función de transferencia matemáticamente como F(s)=(Y(s))/(X(s)) ; conocemos la F(s) y la entrada X(t)=1, que aplicándole laplace obtendremos x(s)=L{1} por tanto x(s)=1/s despejando la fórmula matemática obtenemos

Y(s)=F(s)*X(s) resultando como salida al sistema Y(s)=8/(s²(s^2+16))

Para obtener esta grafica utilice simulink de Matlab:

grafica de salida.

1] Para graficar la función en x(t+1) empleamos el mismo código cambiando dominio y agregando (t+1)

function grafica

t=linspace(4,0,200)% dominio en el que queremos la funcion

f=[(1/2)-(cos(4*(t+1))/2)];% la funcion

plot(t,f,'r'),grid % graficar

De esta manera obtendremos la gráfica desplazada en fase y con intervalos diferentes:

2] Para graficar la función en x(2t) empleamos el mismo código cambiando dominio y agregando x(2t)

Remplazando en la función y ejecutando comando de Matlab obtendremos:

function grafica

t=linspace(4,0,200)% dominio en el que queremos la funcion

f=[(1/2)-(cos(8*(t))/2)];% la funcion

plot(t,f,'r'),grid % graficar

disminuye el periodo:

3] Para graficar la función en 2x(t/2) empleamos el mismo código cambiando dominio y agregando 2x(t/2)

function grafica %'2x(t/2)'

t=linspace(4,0,200)% dominio en el que queremos la funcion

f=1-(cos(2*(t))),% la funcion

plot(t,f,'r'),grid % graficar

Aumenta su periodo

Un sistema esta descrito por la siguiente Ecuación Diferencial: y”(t)+5.y’(t)+6.y(t)=x(t).

Cuál es la salida para las siguientes entradas, El procedimiento debe ser claro y completo.

4) x(t) = δ(t); La entrada es la función Impulso.

Resolvemos esta ecuación diferencial con una entrada impulso mediante la transformada de Laplace con una entrada de impulso x(t)= δ(t) la cual su transformada de Laplace es ) x(s) =1; se utilizaran los valores iniciales y(0)=4 & y’(0)= 0.

y”(t)+5.y’(t)+6.y(t)= δ(t)

Usando propiedades obtendremos:

L{(d^2 y)/〖dt〗^2 }+5L{dy/dt}+6L{y}=L{δ(t)}

S^2 y(s)-Sy(0)-y'(0)+5[Sy(s)-y(0)]+6y(s)=1

Remplazamos los valores iniciales y obtendremos

S^2 y(s)-4S-0+5[Sy(s)-4]+6y(s)=1

S^2 y(s)-4S-0+5Sy(s)-20+6y(s)=1

S^2 y(s)+5Sy(s)+6y(s)=21+4S

y(s)[S^2+5S+6]=21+4S

y(s)=(21+4S)/([S^2+5S+6])

y(s)=(21+4S)/((S+2)(S+3))

Y(s) en nuestra Función de transferencia que utilizaremos para simulación en Matlab en un sistema LTI.

Aplicamos fracciones parciales y obtendremos las constantes para aplicar la transformada inversa de laplace:

y(s)=A/((S+2))+B/((S+3))

4S+21=A(s+3)+B(S+2)

4S+21=AS+3A+BS+2B

Donde obtendré 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

A+B=4

3A+2B=21

Despejamos A en la primera ecuación obteniendo A=4-B, luego remplazamos A en la segunda ecuación quedando:

3(4-B)+2B=21

12-3B+2B=21

-B=21-12

B=-9

Ahora remplazo B en la primera ecuación y obtengo el valor de

A=4+9

A=13

Halladas las constantes remplazamos en y(s)

y(s)=13/((S+2))-9/((S+3))

Y obtenemos la función de transferencia que podremos convertir en una función de tiempo con la transformada inversa de Laplace Si lo deseamos.

L^(-1) {y(s)}=13e^(-2t)-9e^(-3t)

y(t)=13e^(-2t)-9e^(-3t)

Grafica de y(t)

function grafica

t=linspace(4,0,200)% dominio en el que queremos la funcion

f=[13*exp(-t*2) - 9*exp(-t*3)];% la funcion

plot(t,f,'r'),grid % graficar

Graficare en Matlab en un sistema lineal ya que he obtenido la función de transferencia a través del modelamiento matemático utilizando una entrada impulso δ(t)

f(s)=(4S+21)/([S^2+5S+6])

De la cual grafique la entrada y la salida de la función de transferencia.

5. x(t)=μ(t); la entrada es la función escalón.

y”(t)+5.y’(t)+6.y(t)=x(t). E.D

Resolvemos esta ecuación diferencial con una entrada impulso mediante la transformada de Laplace con una entrada de impulso x(t)= μ(t) la cual su transformada de Laplace es ) x(s) =1/s; se utilizaran los valores iniciales y(0)=4 & y’(0)= 0.

L{(d^2 y)/〖dt〗^2 }+5L{dy/dt}+6L{y}=L{μ(t)}

S^2 y(s)-Sy(0)-y'(0)+5[Sy(s)-y(0)]+6y(s)=1/s

Remplazamos los valores iniciales y obtendremos

S^2 y(s)-4S-0+5[Sy(s)-4]+6y(s)=1/s

S^2 y(s)-4S-0+5Sy(s)-20+6y(s)=1/s

S^2 y(s)+5Sy(s)+6y(s)-20=1/s+4s

y(s)[S^2+5S+6]=(4S+1)/S+20

y(s)[S^2+5S+6]=(4S+1+20S)/S

y(s)[S^2+5S+6]=(24S+1)/S

y(s)=(24S+1)/(S[S^2+5S+6])

y(s)=(24S+1)/(S(S+2)(S+3))

Aplicamos fracciones parciales obteniendo:

y(s)=A/S+B/((S+2))+C/((S+3))

24S+1=A(s+2)(s+3)+Bs(S+3)+Cs(S+2)

24S+1=AS^2+5AS+6A+Bs^2+3BS+CS^2+2CS

De lo cual obtendremos 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

A+B+C=0

5A+3B+2C=24

6A+0+0=1

De la cual podremos tener los valores de las constantes A, B y C por sustitución o el método de eliminación gauss jordan:

Hallada A=1/6 B=47/2 y C=-71/3

Reemplazamos en y(s) quedando:

y(s)=(1/6)/S+(47/2)/((S+2))-(71/3)/((S+3))

y(s)=1/6S+47/(2(S+2))-71/(3(S+3))

Ahora bien aplicamos la transformada inversa de Laplace para obtener y(t)

L^(-1) {Y(s)}=L^(-1) {1/6}+L^(-1) {47/(2(S+2))}-L^(-1) {71/(3(S+3))}

Y(t)=1/6+47/2 e^(-2t)-71/3 e^(-3t)

Grafica de Y(t) en Matlab:

function grafica

t=linspace(4,0,200)% dominio en el que queremos la funcion

f=[(1/6)+(47/2)*exp(-2*t) - (71/3)*exp(-3*t)];% la funcion

plot(t,f,'b'),grid % graficar

Graficare en Matlab en un sistema lineal ya que he obtenido la función de transferencia a través del modelamiento matemático utilizando una entrada impulso μ(t)

f(s)=(24S+1)/([S^3+5S^2+6S])

Grafica del sistema

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