Programación Dinámica Determinística.

Investigación de Operaciones (2016-1)[pic 1]

Guía 2.1: Programación Dinámica Determinística

Problema 1

Una planta procesadora de pescado es capaz de producir tres tipos de producto: enlatado, ahumado y congelado. El gerente de planta recibe un cargamento de T toneladas de pescado y debe decidir qué tipo de producto procesar y cuántos pallet completos de cada tipo producir.

Elaborar el producto tipo k tiene un costo fijo de producción Ck y un costo variable vk. La producción de cada pallet de producto k requiere wk toneladas de pescado. El precio de venta de cada pallet del producto tipo k es de Pk y el mercado está dispuesto a comprar hasta Dk pallet de producto k (k=1,2,3). El pescado que no sea procesado puede venderse a una planta de harina de pescado a un precio de h por tonelada.

Obtenga la política óptima de producción mediante programación dinámica.

T= 1 tonelada  h= 10 $/ton.

Problema 2

Una empresa productora de cobre dispone de un capital de 200.000 UM para construir capacidad de producción. La empresa tiene 5 lugares (poblados) en el norte de Chile donde construir dicha capacidad. El costo de construir capacidad para producir Xi toneladas de cobre al año está dado por Ci(Xi) UM en el poblado i, esta capacidad de producción genera una emisión de material particulado de Mi(Xi)  toneladas al  año. Con el objeto  de  cumplir  la  normativa  ambiental, la empresa  no  debe sobrepasar las 1.000 toneladas de emisión de material particulado al año.

Formule un modelo de programación dinámica que determine la capacidad a construir en cada poblado t que maximice la producción de cobre obtenida.

Problema 2

Considere que tiene $400.000 para invertir en tres tipos de instrumentos financieros: bonos, acciones y fondos mutuos. Si invierte en bonos obtiene una rentabilidad anual fija independiente del monto invertido. Si invierte en acciones o fondos mutuos la rentabilidad anual que se obtiene depende del monto de la inversión realizada en cada instrumento financiero. En la tabla siguiente se muestra la rentabilidad de cada instrumento. Las entidades financieras sólo permiten inversiones en múltiplos de $100.000.

Su objetivo es determinar la inversión óptima en cada uno de los instrumentos financieros con el objetivo de maximizar la rentabilidad de su inversión. Elabore un modelo de programación dinámica para resolver el problema y resuélvalo numéricamente.

Problema 4

Un campesino posee actualmente un rebaño de k ovejas. Al final de cada año toma la decisión de cuántas debe vender y cuántas conservar. La utilidad que le reporta vender una oveja en el año i es Ui y el costo que le significa conservar una oveja para el próximo año es Ci. La cantidad de ovejas del rebaño para el año i + 1 es el doble de las que decidió conservar al final del año i. El campesino planea vender todas las ovejas al final de n años.

Resuelva el modelo planteado para un horizonte de n = 3 años, un rebaño de k = 2 ovejas, utilidades por ventas de U1 = 100 M, U2 = 130 M, U3 = 120 M y costos C1 = 100 M, C2 = 150 M, C3=0 M.

Problema 5

Considere un alambre de acero de 9 metros. Usted lo puede subdividir para vender en trozos de 1, 2, 3 y 4 metros. Los precios para las distintas longitudes corresponden a:

a.    Formule un modelo de programación dinámica para determinar la manera óptima de cortar el alambre de modo de maximizar el ingreso total asociado a la venta de los trozos de alambre.

b.   Encuentre la solución óptima del problema resolviendo el modelo propuesto.

Problema 6

Un alumno está planificando un fin de semana de estudio. El alumno debe dividir 10 horas de su tiempo en forma eficiente entre las asignaturas de Historia, Física y Optimización. Él sabe que la nota obtenida en la prueba depende de las horas de estudio dedicadas a cada asignatura de la siguiente forma:

El objetivo del alumno es obtener la máxima suma de las notas de las tres asignaturas. Por un tema de organización, si el alumno decide dedicar m horas de estudio a una asignatura, entonces lo hace “de corrido”, es decir, empieza el estudio de otra asignatura una vez que haya terminado con la asignatura actual. Por experiencia previa, el alumno sabe que si al final de la jornada de estudio le sobran horas (de las 10 que decidió dedicar), éstas mejoran su rendimiento en un punto por cada hora no estudiada (en la suma total), lo cual se atribuye a los beneficios de tener tiempo de relajación.   Pero si el estudiante se relaja por más de 3 horas, las horas adicionales no le proporcionan beneficios adicionales.

Formule el problema con un modelo de programación dinámica determinista. b)   Resuelva el problema y determine la solución óptima.

Problema 7

Tres mineros quedan atrapados en una mina debido a un derrumbe. Ellos solo cuentan con agua para su sobrevivencia mientras son rescatados. Cuentan con solo 5 litros de agua y su objetivo es maximizar la probabilidad de que rescaten a los tres mineros con vida.

Como los mineros se encuentran en distintos estados físicos y de salud, la tabla siguiente muestra cómo cambia la probabilidad de supervivencia de cada uno como función del consumo de agua durante el encierro.

Determine cuál es la estrategia óptima de consumo de agua de los mineros de modo de maximizar la probabilidad de sobrevivencia de los tres integrantes del grupo.

Problema 8

Una compañía está planeando la   estrategia de publicidad durante el próximo año para sus tres productos más importantes. Como los tres son bastante diferentes, cada esfuerzo de publicidad estará dedicado a un solo producto. Se dispone de un total de 6 millones de dólares para esta campaña  de publicidad. La siguiente tabla especifica el incremento estimado en ventas para diferentes gastos en publicidad.

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