Programación Dinámica - Modelo de Inversión
Lesly Yamada FloresTrabajo28 de Octubre de 2015
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Programación Dinámica - Modelo de Inversión
Clase Investigación de Operaciones: Año 2012 Semestre III
Universidad Alejandro de Humboldt
3er. Corte
Ejemplo No.10.3-4 (página No.422 del libro texto)
Datos:
Año (i) | Capital a Invertir (Pi) | % Interés Bansexto (b) | % Interés Mercante (m) | Bonos Bansexto (bi) | Bonos Mercante (mi) |
1 | 4000 | 8% | 7,80% | 1,80% | 2,30% |
2 | 2000 | 8% | 7,80% | 1,70% | 2,20% |
3 | 2000 | 8% | 7,80% | 2,10% | 2,60% |
4 | 2000 | 8% | 7,80% | 2,50% | 3,00% |
Formulación:
Para resolver este ejercicio necesitamos conocer lo siguiente
- Como se acumula el fondo invertido (si)
- Cuanto se invierte cada año (xi)
Notación:
i: Año de la inversión
Pi: Monto de Capital Aportado
xi: Monto que será invertido en el año i
Ii: Monto Colocado en Bansexto
xi-Ii: Monto Colocado en Mercante
si: Monto acumulado de la inversión del año i
b: Tasa de Interés Bansexto
m: Tasa de Interés Mercante
bi: Bono pagado por Bansexto
mi: Bono pagado por Mercante
Procedimiento:
1er. Paso) Nos iniciamos formulando el monto acumulado de la inversión al final de cada año y hasta el año 4
Monto Acumulado de la Inversión efectuada en el año (i)
Año | Inversión Año 1 | Inversión Año 2 | Inversión Año 3 | Inversión Año 4 | si |
1 | I1(1+b)+(x1-I1)(1+m) | S1 | |||
2 | I1(1+b)2+(x1-I1)(1+m)2 | I2(1+b)+(x2-I2)(1+m) | S2 | ||
3 | I1(1+b)3+(x1-I1)(1+m)3 | I2(1+b)2+(x2-I2)(1+m)2 | I3(1+b)+(x3-I3)(1+m) | S3 | |
4 | I1(1+b)4+(x1-I1)(1+m)4 | I2(1+b)3+(x2-I2)(1+m)3 | I3(1+b)2+(x3-I3)(1+m)2 | I4(1+b)+(x4-I4)(1+m)+I4(b4) + (x4-I4)(m4) | S4 |
En el 4to. año se recuperará la inversión, por lo que los bonos formarán parte del fondo acumulado de la inversión de ese año.
Recordatorio: El alumno debe repasar la fórmula financiera del cálculo del monto de una inversión bajo interés compuesto durante n” años.
2do. Paso) Ahora formulamos el monto de la cantidad a invertir en cada año, tomando en cuenta el capital Pi y la cantidad recibida por concepto de bonos pagados por “Bansexto” y “Mercante”.
Año | Capital Original | Bonos | xi |
1 | P1 | I1(b1)+(x1-I1)(m1) | P1 |
2 | P2 | I2(b2)+(x2-I2)(m2) | P2+ I1(b1)+(x1-I1)(m1) |
3 | P3 | I3(b3)+(x3-I3)(m3) | P3+ I2(b2)+(x2-I2)(m2) |
4 | P4 | I4(b4)+(x4-I4)(m4) | P4+I3(b3)+(x3-I3)(m3) |
Función Objetivo: Una vez que tenemos las fórmulas principales podemos definir la función objetivo que queremos maximizar y como nos están solicitando el programa de inversión a 4 años, nos interesará maximizar la sumatoria de los montos acumulados durante los 4 años; es decir z=s1+ s2+ s3+ s4
Programación Dinámica: Como aprendimos a lo largo del curso, debemos utilizar una fórmula recursiva en reversa, a los efectos de ir acumulando la función de contribución de la “etapa i”, con el mejor valor obtenido en la etapa siguiente (como vamos en reversa hay que recordar que es el resultado previo).
Comenzaremos con la inversión el año 4 e iremos en reversa hasta el año 1
[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5]
[pic 6][pic 7]
Año 4: Ubicamos cual es el mejor valor (Monto acumulado) y la mejor decisión en esta etapa, recordemos que si representa el monto acumulado de la inversión y que en el año 4 se reintegran los bonos.
S4: I4(1+b)+(x4-I4)(1+m)+I4(b4)+ (x4-I4)(m4)
Vamos a operar algebraicamente y simplificar
S4: I4(1+b-1-m+ b4- m4)+(x4)(1+m+ m4)
S4: I4(b-m+ b4- m4)+(x4)(1+m+ m4)
S4: I4(8%-7,8%+ 2,50%- 3%)+(x4)(1+7,8%+ 3%)
S4: -I4 ( 0,30%)+(x4)(1,108)
Una vez que hemos simplificado la expresión, analizamos su comportamiento y notamos que dicha función está precedida por un signo menos (-) por lo tanto cuando esa expresión crece la función decrece, por eso su máximo se encontrará cuando el término negativo sea igual a cero: es decir cuando I4=0 entonces el
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