Progresiones aritmetica y geometricas

República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Educación.

U.E.P “San Francisco de Sales”

Cátedra: Matemática.[pic 1]

Curso:4to año “C”

Conocimientos de progresiones aritméticas y geométricas.

Docente:                                                                                                   Alumna:

Nelson Marval.                                                                            Rosangel Chirinos #9

Caracas, 30 de Mayo del 2020.

Introducción[pic 2]

Este trabajo será realizado para entender y ampliar mis conocimientos referente a la matemática, en la cual están incluidas las progresiones aritméticas y geométricas, . Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

Habiendo dicho esto, procederemos a explicar las propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas, se darán ejemplos y se mostrara como son aplicadas cotidianamente.

Progresiones aritméticas[pic 3]

Cuando se habla de las sucesiones de números en las que para pasar de un término a otro hay que sumar una cantidad constante, se estaría haciendo referencia a las progresiones aritméticas, PA. La cantidad  que es constante se llama diferencia la cual es representada mediante la letra d y cada uno de los términos se representa con an donde n indica la posición de cada término.

• Ejemplo: En la sucesión de los números pares (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,…) dos términos consecutivos siempre distan 2; por tanto, la diferencia es d=2 y puedes decir que la sucesión de los números pares es una progresión aritmética.

Progresiones aritméticas ascendentes y descendentes.

Si la diferencia es positiva, los términos cada vez son mayores y la progresión sería ascendente; aunque si la diferencia es negativa, los términos se van haciendo cada vez más pequeños y por lo mismo la progresión será descendiente; y si la diferencia vale 0, todos los términos son iguales y la progresión será constante.

• Ejemplo: En la sucesión 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,…, para pasar de un término a otro, tienes que sumar 3; por tanto, la diferencia es d=3 y la progresión es ascendente.

•  Ejemplo: Sin embargo, en esta otra sucesión 17,13,9,5,1,-3,-7,-11,-15,…, para pasar de un término al siguiente, tienes que restar 4 (o sumar -4); entonces, la diferencia es d=-4 y la progresión es descendente.

Aplicaciones de las progresiones aritméticas en la vida diaria.

Las progresiones aritméticas están presentes en la vida diaria. Acá tienes algunos ejemplos:

1. La dosis de un medicamento es 100mg el primer día y 5mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?

Datos: a1 = 100  d = -5  n = 12  an = a12 = ?  S12 = ?

Calculamos: a12  →  a12 = a1 +(n-1) · d  →  a12 = 100 + (12- 1) · (-5)

                a12 = 100 - 55 = 45

Calculamos la suma de los 12 días: S12 → S12 = a1 + an · n

2

    S12 = 100 + 45 · 12 = 8700mg

   2

1. Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas?

Datos: a1 = 1  an = ?

Formamos la progresión para aclararnos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

la razón es 2. r = 2

Calculamos los cuartos de hora que hay en 6 horas: 6·4 = 24

→n = 24

*Al reproducirse por bipartición, cuando la primera se divide en dos desaparece, y así sucesivamente.

El número total de bacterias será: a24

Calculamos: a24→ a24= a1 · rn-1 → a24= 1·224-1 = 223= 8388608.

Progresiones geométricas[pic 4]

Otra manera frecuente de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones son definidas como esas en las que cada término es obtenido multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.Ejemplos:

• La sucesión 3,6,12,24,48,...... es una progresión geométrica de razón 2.
• La sucesión 0,0.1,0.01,0.001,..es una progresión geométrica de razón 0.1.
• La sucesión 1,1/4,1/16,1/64,...es una progresión geométrica de razón 1/4.

Progresiones geométricas ascendentes, descendentes y oscilantes

Observa estos ejemplos de progresiones geométricas:

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