Responde por escrito las siguientes preguntas

I.- Responde por escrito las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es un campo finito?

En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois) es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número qde elementos q = pn, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y sólo una manera posible de definir un campo finito, por lo que todos los campos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí

Clasificación

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los cuerpos finitos tienen característica p prima. Por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pn, para algún entero positivo n > 0 (pues el cuerpo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). Sin embargo, no es cierto en general que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para todo primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), Fp, o GF(p); en algunos casos se usa Zp, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a éste.

Si q = pn es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un campo con q elementos, en concreto, el cuerpo de descomposición de sobre .3 Dicho cuerpo se denota por Fq, F[pn] o GF(pn) y se puede construir de la siguiente manera:

se toma un polinomio irreducible f(X) de grado n con coeficientes en Fp,

se defíne Fq = Fp[X] / <f(T)>, donde

Fp[X] denota el anillo de todos los polinomios con coeficientes en Fp,

<f(X)> denota el ideal generado por f(X),

la barra diagonal indica que se toma el anillo cociente (definido de forma similar al grupo cociente).

El polinomio f(X) se puede hallar factorizando Xq-X sobre Fp. El campo Fq contiene una copia de Fp como subcampo.

No hay otros campos finitos.

Ejemplos

Cuerpo F[7]

Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:

[a] + [b] = [j], siendo [j] el resto de la división de (a+b)/7 ( por ejemplo [5] + [6] = [4], puesto que 5+6=11, que dividido por 7, da resto 4).

[a] x [b] = [k] donde [k] es el resto de la división de (h x i)/7 (Por ejemplo, [5] x [6] = [2], puesto que 5 x 6 = 30 y 30 entre 7, da como resto 2).

Se verifica que F[7] es un anillo conmutativo con elemento unitario [1]. Además se cumple:

[1] x [1] = [1] = [6] x [6].

[2] x [4] = [1] = [4] x [2].

[3] x [5] = [1] = [5] x [3].

Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de elementos es un campo finito.

b) ¿Qué es un espacio vectorial?

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

c) ¿Qué es la dimensión de un espacio vectorial?

La dimensión de un

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