Runge Kutta

Índice

Objetivos……………………..

Introducción…………………..

Marco teórico…………………

Problema de Aplicación…….

Solución…………………………

Programa………………………

Conclusiones…………………..

Bibliografía……………………..

Objetivos

Marco teórico

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias, aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Y Ecuaciones en derivadas parciales, aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelo de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales como son la física, química, biología o matemáticas.

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada.

Como se dijo anteriormente, las ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en varias ramas del estudio práctico y experimental, teniendo como problema que algunas ecuaciones no se pueden resolver exactamente, con lo cual hay que acudir a métodos de aproximación para tener una idea general de la solución al problema. Entre los métodos creados para la resolución de ecuaciones diferenciales por aproximación de esta el método Runge Kutta el cual se va a estudiar en presente trabajo, mostrando su fundamentación, aplicaciones y ejemplos de su estructura.

El método de Runge Kutta fue desarrollado alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta, es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales que surge como una mejora del método Euler, el cual se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, este método logra la exactitud de una serie de Taylor pero sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Los Runge Kutta no es solo un método sino una importante familia de método iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, además este método proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias.

Pasos para la resolución del método según el orden:

Se debe de definir un problema de valor inicial y esto aplicara en todos los Runge Kutta:

dy/dx=f(x,y) y(x0)=y0

Runge Kutta Orden 2

Entonces el método RK2 para el problema está dado por la siguiente ecuación:

y_(i+1)=y_i+h/2(k_1+k_2)

En donde:

k_1=f(x_i,y_i)

k_2=f(x_(i+1)+h,y_i+hk_1)

Runge Kutta Orden 3

Entonces el método RK3 para el problema está dado por la siguiente ecuación:

y_(i+1)=y_i+h/6(k_1+4k_2+k_3)

En donde:

k_1=f(x_i,y_i)

k_2=f(x_i+1/2 h,y_i+1/2 hk_1)

k_3=f(x_i+h,y_i-hk_1+2hk_2)

Runge Kutta Orden 4

Entonces el método RK4 para el problema está dado por la siguiente ecuación:

y_(i+1)=y_i+h/6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

En donde:

k_1=f(x_i,y_i)

k_2=f(x_i+1/2 h,y_i+1/2 hk_1)

k_3=f(x_i+1/2 h,y_i+1/2 hk_2)

k_4=f(x_i+h,y_i+hk_3)

Así, el siguiente valor (y_(i+1)) es determinado por el presente valor de y_i y por el tamaño del paso de integración estimado.

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