Métodos de Runge-Kutta de segundo orden

Métodos de Runge-Kutta de segundo orden

El método de Runge-Kutta de segundo orden, también conocido como el método de Heun, es un método numérico utilizado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Consiste en una mejora con respecto al método de Euler, que es menos preciso.

El método de Runge-Kutta de segundo orden es más preciso que el método de Euler porque toma en cuenta tanto la pendiente en el punto inicial como la pendiente en un punto intermedio dentro de cada paso. Esto reduce el error de aproximación y proporciona una solución más precisa para la EDO. Es un método ampliamente utilizado en la solución numérica de EDOs en diversas aplicaciones científicas y de ingeniería.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) se basan indirectamente en el método de Taylor, pero sin requerir el cálculo de derivadas superiores.

Probablemente son uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez más exactos, para obtener la solución numérica del problema de valor inicial:

y’= f (t, y) con y (t0) = y0

Los métodos de Runge Kutta de cualquier orden se deducen mediante el desarrollo de la serie de Taylor de la función f (x, y). Existen muchas variaciones, las cuales tienen la forma:

Los métodos Runge-Kutta se obtienen aplicando la Regla del Trapecio para integrar la ecuación, desde xn hasta xn+1, es decir:

yi + 1 = yi + (a1k1 + a2k2+a3k3+…+ankn) h

donde

k1 = ƒ (xi, yi) y k2 = ƒ (xi + p1h, yi + q11k1h)

Los valores de a1, a2, p1 y q11 se evalúan al igualar la ecuación con la expansión de la serie de Taylor hasta el término de segundo orden. Al hacerlo, desarrollamos tres ecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas. Las tres ecuaciones son:

a1 + a2 = 1

a2p1=[pic 1]

a2q11=[pic 2]

Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos dar el valor de una de estas incógnitas para determinar las otras tres. Suponiendo que les damos un valor para a2. Entonces se resuelven de manera simultánea las ecuaciones obteniendo:

a1 = 1 – a2

p1=q11=[pic 3]

Debido a que podemos elegir un número infinito de valores para a2, hay un número infinito de métodos RK de segundo orden. Cada versión daría exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante. Sin embargo, se obtienen diferentes resultados cuando (como típicamente es el caso) la solución es más complicada. A continuación, presentamos tres de las versiones más comúnmente usadas y preferidas:

Método de Heun con un solo corrector (a2 =) Si suponemos que a2 es de las ecuaciones puede obtenerse a1 = y p1 = q11 = 1. Estos parámetros, al sustituirse en la ecuación, dan:[pic 4][pic 5][pic 6]

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