Euler Mejorado y Runge Kutta Universidad Surcolombiana Metodos Numericos
Enviado por FABIAN STEVENS VARON VALENCIA • 2 de Septiembre de 2016 • Trabajos • 2.305 Palabras (10 Páginas) • 330 Visitas
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CONCETRACION DE SALMUERA
PRESENTADO POR:
JAVIER HERNANDO PINTO LOSDA COD. 20142130330
FABIAN STEVENS VARON VALENCIA COD. 20151130266
ANDRES CAMILO VILLABON RAMON COD. 20141125137
PRESENTADO A:
YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS
UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
FACULTAD DE INGENIERIA
NEIVA
2016
Concentración de salmuera en un determinado tiempo
[pic 1]
¿Cuál es la concentración en el tanque al cabo de 5 minutos?
Desarrollo:
La variación del volumen en el tanque respecto al tiempo está determinada por la siguiente ecuación diferencial.
(1)[pic 2]
Donde
- A es el caudal de entrada de agua pura a razón de 3 L/s
- B es el caudal de salida de agua-sal (salmuera) a razón de 2 L/s
- t tiempo medido en segundos
- el volumen inicial del tanque (500 L )[pic 3]
La variación de concentración respecto al tiempo está determinada por la siguiente ecuación.
(2)[pic 4]
Donde
- A es el caudal de entrada de agua pura a razón de 3 L/s
- C1 es la concentración de sal que ingresa al tanque (C1=0)
- B es el caudal de salida de agua-sal (salmuera) a razón de 2 L/s
- V(t) es La variación del volumen en el tanque respecto al tiempo está determinada por la siguiente ecuación diferencial.
- Q es la concentración en el tanque
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2 queda:
(3)[pic 5]
Condiciones prácticas para reemplazar en la ecuación 3
A= 3 L/S
B= 2 L/S
C1= 0
V0= 500 L
[pic 6]
Obteniendo la ecuación diferencial
[pic 7]
Procedemos a solucionar la ecuación diferencial mediante separación de variables, para encontrar la función primitiva que describe la variación de la concentración respecto al tiempo.
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
Nota: la integral del lado derecho se soluciona mediante sustitución haciendo u = t+500 y du=dt
[pic 11]
Por propiedades de los logaritmos podemos convertir ese dos (2) que multiplica al logaritmo en exponente de dicho logaritmo, quedando así:
[pic 12]
Despejando la concentración Q aplicando exponencial nos queda que:
[pic 13]
[pic 14]
Donde se puede escribir o denotar como otra constante K[pic 15]
[pic 16]
Quedando la función que mejor describe la concentración respecto al tiempo
(4)[pic 17]
Remplazando en la ecuación 4 según las condiciones iniciales quedando:
En un tiempo t=0 la concentración de sal es de 30 Kg quedando así:
[pic 18]
Despejando K nos queda:
[pic 19]
Por ultimo queda que la mejor ecuación que describe la concentración de sal en el tanque respecto al tiempo es:
[pic 20]
Euler mejorado
Mediante el método de Euler mejorado se presenta la descripción de la ecuación diferencial la cual representa la variación de la concentración de sal en el tanque respecto al tiempo.
Ecuación diferencial:
[pic 21]
Solución a la ecuación diferencial
[pic 22]
Se aplicó el método de Euler mejorado con paso h=1, arrojando los siguientes resultados.
pasos | Cada segundo | Valor calculado | Valor real | Error |
0 | 0.000 | 30.000000 | 30.000000 | 0.000000 |
1 | 1.000 | 29.880359 | 29.880359 | 0.000000 |
2 | 2.000 | 29.761433 | 29.761432 | 0.000000 |
3 | 3.000 | 29.643215 | 29.643214 | 0.000001 |
4 | 4.000 | 29.525700 | 29.525699 | 0.000001 |
5 | 5.000 | 29.408883 | 29.408881 | 0.000001 |
6 | 6.000 | 29.292757 | 29.292756 | 0.000001 |
7 | 7.000 | 29.177318 | 29.177316 | 0.000002 |
8 | 8.000 | 29.062560 | 29.062558 | 0.000002 |
9 | 9.000 | 28.948478 | 28.948476 | 0.000002 |
10 | 10.000 | 28.835066 | 28.835063 | 0.000002 |
10 | 10.000 | 28.835066 | 28.835063 | 0.000002 |
11 | 11.000 | 28.722319 | 28.722316 | 0.000002 |
12 | 12.000 | 28.610232 | 28.610229 | 0.000003 |
13 | 13.000 | 28.498800 | 28.498797 | 0.000003 |
14 | 14.000 | 28.388018 | 28.388015 | 0.000003 |
15 | 15.000 | 28.277881 | 28.277877 | 0.000003 |
16 | 16.000 | 28.168383 | 28.168379 | 0.000003 |
17 | 17.000 | 28.059520 | 28.059516 | 0.000004 |
18 | 18.000 | 27.951287 | 27.951283 | 0.000004 |
19 | 19.000 | 27.843678 | 27.843674 | 0.000004 |
20 | 20.000 | 27.736691 | 27.736686 | 0.000004 |
21 | 21.000 | 27.630318 | 27.630314 | 0.000004 |
22 | 22.000 | 27.524556 | 27.524552 | 0.000005 |
23 | 23.000 | 27.419401 | 27.419396 | 0.000005 |
24 | 24.000 | 27.314847 | 27.314842 | 0.000005 |
25 | 25.000 | 27.210889 | 27.210884 | 0.000005 |
26 | 26.000 | 27.107525 | 27.107519 | 0.000005 |
27 | 27.000 | 27.004747 | 27.004742 | 0.000005 |
28 | 28.000 | 26.902554 | 26.902548 | 0.000006 |
29 | 29.000 | 26.800939 | 26.800933 | 0.000006 |
30 | 30.000 | 26.699899 | 26.699893 | 0.000006 |
31 | 31.000 | 26.599429 | 26.599423 | 0.000006 |
32 | 32.000 | 26.499526 | 26.499519 | 0.000006 |
33 | 33.000 | 26.400184 | 26.400177 | 0.000006 |
34 | 34.000 | 26.301399 | 26.301393 | 0.000007 |
35 | 35.000 | 26.203169 | 26.203162 | 0.000007 |
36 | 36.000 | 26.105487 | 26.105480 | 0.000007 |
37 | 37.000 | 26.008350 | 26.008343 | 0.000007 |
38 | 38.000 | 25.911755 | 25.911748 | 0.000007 |
39 | 39.000 | 25.815697 | 25.815690 | 0.000007 |
40 | 40.000 | 25.720172 | 25.720165 | 0.000007 |
41 | 41.000 | 25.625176 | 25.625169 | 0.000007 |
42 | 42.000 | 25.530706 | 25.530698 | 0.000008 |
43 | 43.000 | 25.436757 | 25.436749 | 0.000008 |
44 | 44.000 | 25.343325 | 25.343317 | 0.000008 |
45 | 45.000 | 25.250408 | 25.250400 | 0.000008 |
46 | 46.000 | 25.158000 | 25.157992 | 0.000008 |
47 | 47.000 | 25.066099 | 25.066091 | 0.000008 |
48 | 48.000 | 24.974701 | 24.974692 | 0.000008 |
49 | 49.000 | 24.883801 | 24.883793 | 0.000009 |
50 | 50.000 | 24.793397 | 24.793388 | 0.000009 |
51 | 51.000 | 24.703485 | 24.703476 | 0.000009 |
52 | 52.000 | 24.614061 | 24.614052 | 0.000009 |
53 | 53.000 | 24.525121 | 24.525112 | 0.000009 |
54 | 54.000 | 24.436663 | 24.436654 | 0.000009 |
55 | 55.000 | 24.348682 | 24.348673 | 0.000009 |
56 | 56.000 | 24.261176 | 24.261167 | 0.000009 |
57 | 57.000 | 24.174141 | 24.174131 | 0.000009 |
58 | 58.000 | 24.087573 | 24.087563 | 0.000010 |
59 | 59.000 | 24.001469 | 24.001459 | 0.000010 |
60 | 60.000 | 23.915826 | 23.915816 | 0.000010 |
61 | 61.000 | 23.830641 | 23.830631 | 0.000010 |
62 | 62.000 | 23.745910 | 23.745900 | 0.000010 |
63 | 63.000 | 23.661630 | 23.661620 | 0.000010 |
64 | 64.000 | 23.577798 | 23.577788 | 0.000010 |
65 | 65.000 | 23.494411 | 23.494401 | 0.000010 |
66 | 66.000 | 23.411465 | 23.411455 | 0.000010 |
67 | 67.000 | 23.328958 | 23.328947 | 0.000010 |
68 | 68.000 | 23.246886 | 23.246876 | 0.000010 |
69 | 69.000 | 23.165247 | 23.165236 | 0.000011 |
70 | 70.000 | 23.084037 | 23.084026 | 0.000011 |
71 | 71.000 | 23.003253 | 23.003242 | 0.000011 |
72 | 72.000 | 22.922892 | 22.922881 | 0.000011 |
73 | 73.000 | 22.842952 | 22.842941 | 0.000011 |
74 | 74.000 | 22.763429 | 22.763418 | 0.000011 |
75 | 75.000 | 22.684321 | 22.684310 | 0.000011 |
76 | 76.000 | 22.605625 | 22.605613 | 0.000011 |
77 | 77.000 | 22.527337 | 22.527326 | 0.000011 |
78 | 78.000 | 22.449455 | 22.449444 | 0.000011 |
79 | 79.000 | 22.371977 | 22.371965 | 0.000011 |
80 | 80.000 | 22.294899 | 22.294887 | 0.000011 |
81 | 81.000 | 22.218218 | 22.218206 | 0.000012 |
82 | 82.000 | 22.141932 | 22.141921 | 0.000012 |
83 | 83.000 | 22.066039 | 22.066027 | 0.000012 |
84 | 84.000 | 21.990535 | 21.990524 | 0.000012 |
85 | 85.000 | 21.915418 | 21.915407 | 0.000012 |
86 | 86.000 | 21.840686 | 21.840674 | 0.000012 |
87 | 87.000 | 21.766335 | 21.766323 | 0.000012 |
88 | 88.000 | 21.692362 | 21.692350 | 0.000012 |
89 | 89.000 | 21.618767 | 21.618755 | 0.000012 |
90 | 90.000 | 21.545545 | 21.545533 | 0.000012 |
91 | 91.000 | 21.472695 | 21.472682 | 0.000012 |
92 | 92.000 | 21.400213 | 21.400201 | 0.000012 |
93 | 93.000 | 21.328098 | 21.328086 | 0.000012 |
94 | 94.000 | 21.256347 | 21.256334 | 0.000012 |
95 | 95.000 | 21.184957 | 21.184945 | 0.000012 |
96 | 96.000 | 21.113926 | 21.113914 | 0.000013 |
97 | 97.000 | 21.043252 | 21.043240 | 0.000013 |
98 | 98.000 | 20.972932 | 20.972920 | 0.000013 |
99 | 99.000 | 20.902964 | 20.902952 | 0.000013 |
100 | 100.000 | 20.833346 | 20.833333 | 0.000013 |
101 | 101.000 | 20.764075 | 20.764062 | 0.000013 |
102 | 102.000 | 20.695149 | 20.695136 | 0.000013 |
103 | 103.000 | 20.626565 | 20.626552 | 0.000013 |
104 | 104.000 | 20.558322 | 20.558309 | 0.000013 |
105 | 105.000 | 20.490417 | 20.490404 | 0.000013 |
106 | 106.000 | 20.422847 | 20.422834 | 0.000013 |
107 | 107.000 | 20.355612 | 20.355599 | 0.000013 |
108 | 108.000 | 20.288708 | 20.288695 | 0.000013 |
109 | 109.000 | 20.222133 | 20.222120 | 0.000013 |
110 | 110.000 | 20.155885 | 20.155872 | 0.000013 |
111 | 111.000 | 20.089963 | 20.089949 | 0.000013 |
112 | 112.000 | 20.024363 | 20.024350 | 0.000013 |
113 | 113.000 | 19.959084 | 19.959071 | 0.000013 |
114 | 114.000 | 19.894124 | 19.894110 | 0.000013 |
115 | 115.000 | 19.829480 | 19.829467 | 0.000013 |
116 | 116.000 | 19.765151 | 19.765137 | 0.000014 |
117 | 117.000 | 19.701134 | 19.701121 | 0.000014 |
118 | 118.000 | 19.637428 | 19.637415 | 0.000014 |
119 | 119.000 | 19.574031 | 19.574017 | 0.000014 |
120 | 120.000 | 19.510940 | 19.510926 | 0.000014 |
121 | 121.000 | 19.448153 | 19.448140 | 0.000014 |
122 | 122.000 | 19.385669 | 19.385656 | 0.000014 |
123 | 123.000 | 19.323486 | 19.323472 | 0.000014 |
124 | 124.000 | 19.261602 | 19.261588 | 0.000014 |
125 | 125.000 | 19.200014 | 19.200000 | 0.000014 |
126 | 126.000 | 19.138721 | 19.138707 | 0.000014 |
127 | 127.000 | 19.077721 | 19.077707 | 0.000014 |
128 | 128.000 | 19.017013 | 19.016999 | 0.000014 |
129 | 129.000 | 18.956593 | 18.956579 | 0.000014 |
130 | 130.000 | 18.896461 | 18.896447 | 0.000014 |
131 | 131.000 | 18.836615 | 18.836601 | 0.000014 |
132 | 132.000 | 18.777053 | 18.777039 | 0.000014 |
133 | 133.000 | 18.717773 | 18.717759 | 0.000014 |
134 | 134.000 | 18.658773 | 18.658759 | 0.000014 |
135 | 135.000 | 18.600051 | 18.600037 | 0.000014 |
136 | 136.000 | 18.541607 | 18.541593 | 0.000014 |
137 | 137.000 | 18.483437 | 18.483423 | 0.000014 |
138 | 138.000 | 18.425541 | 18.425526 | 0.000014 |
139 | 139.000 | 18.367916 | 18.367902 | 0.000014 |
140 | 140.000 | 18.310561 | 18.310547 | 0.000014 |
141 | 141.000 | 18.253475 | 18.253460 | 0.000014 |
142 | 142.000 | 18.196655 | 18.196640 | 0.000014 |
143 | 143.000 | 18.140099 | 18.140085 | 0.000014 |
144 | 144.000 | 18.083807 | 18.083793 | 0.000014 |
145 | 145.000 | 18.027777 | 18.027763 | 0.000014 |
146 | 146.000 | 17.972007 | 17.971992 | 0.000014 |
147 | 147.000 | 17.916495 | 17.916481 | 0.000014 |
148 | 148.000 | 17.861240 | 17.861225 | 0.000014 |
149 | 149.000 | 17.806240 | 17.806226 | 0.000015 |
150 | 150.000 | 17.751494 | 17.751479 | 0.000015 |
151 | 151.000 | 17.697000 | 17.696985 | 0.000015 |
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