SAMUEL RUAN SOTOMAYOR. BIOGRAFIA

CONSULTA.

JORGE MARIO CEBALLOS ZULUAGA.

SAMUEL RUAN SOTOMAYOR.

ANDES SANTIAGO ALZATE ALVARE.

CARLOS HERNÁN VALLEJO VELÁSQUEZ

PRO. INGENIERO

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO.

INGENIERÍA.

INGENIERÍA MECÁNICA.

MEDELLÍN – ANTIOQUIA.

2015

Consulta.

Hacer 10 ejercicios de funciones lineales y funciones cuadráticas que tengan aplicaciones en la ingeniería mecánica.

Función Cuadrática.

1. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Halla el punto de la montaña donde se producirá el impacto.[pic 1]

El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema [pic 2], que tiene dos soluciones:

[pic 3]

[pic 4], que no tiene sentido para el problema real.

Para  [pic 5], se tiene que [pic 6]

Por lo tanto, el impacto se producirá en el punto [pic 7].

1. Dada la parábola  y = x2  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas delos puntos de la figura:

[pic 8]

a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,  y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

[pic 9], que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento [pic 10], es decir,  [pic 11]. Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H = (5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola,  [pic 12] cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).

1. ¿Qué cantidad de aceite con contenido de 0.5% de azufre debe mezclar un químico, en 100 litros con 0.8% de azufre para conseguir un aceite que contenga 0.6%

Solución: Haciendo x = la cantidad de aceite de 0.5% para mezclar, tenemos m(x) = 0.008(100) + 0.005x Luego, sustituyendo la mezcla deseada de (100 + x) litros de 0.6% de azufre para m, 0.006(100 + x) = .008(100) + .005x 0.6 + .006x = 0.8 + .005x 0.001x = 0.2 x = 200

[pic 13]

1. Hallar el punto de la gráfica de  más cercano al punto .[pic 14][pic 15]

[pic 16]

Representación gráfica de la función .[pic 17]

Solución:

Si realizamos el dibujo de la gráfica (ver figura 8) y del punto  se observa que existe el punto más cercano y podemos pensar en una posible solución. La distancia desde el punto  a un punto arbitrario de la gráfica  viene dada por la fórmula . Queremos que esta distancia sea mínima. Eso ocurrirá si y sólo si  es mínima. Por tanto, debemos buscar el mínimo de la función . Para ello debemos encontrar los puntos que anulan .[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Debemos por tanto resolver la ecuación . Para ello utilizamos el método de Newton. Llamamos , por lo tanto . Usamos . Ya sea mirando la gráfica o teniendo en cuenta que  y que  un punto inicial adecuado para realizar las iteraciones es .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32] 

Así, la solución es  (con un error menor que 0.0000385). Y el punto de la graficamos cercano al  es , ya que .[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

1. El modelo matemático del ingreso cuando se vende q unidades de un producto en cierta fábrica está dada por:

[pic 37]

Donde y = ingresos en dólares y  q = número de unidades vendidas.

1. Determine cuantas unidades deben venderse para obtener el ingreso máximo
2. Determine además cual es el ingreso máximo.
3. Determine el precio de cada unidad en este caso.

Este es un modelo cuadrático, nos piden las coordenadas del vértice.

La  q del vértice nos dice cuantas unidades deben venderse para que el ingreso sea máximo.

La y del vértice nos indica cual es el ingreso máximo.

[pic 38]

Como a es negativa,  la parábola abre hacia abajo,   por lo tanto el vértice es un máximo.

[pic 39]

Quiere decir que se deben vender 250 unidades para que el ingreso sea máximo.

[pic 40]

El ingreso máximo que se puede alcanzar es de US$ 125000

El precio se obtiene dividiendo el ingreso entre el número de unidades vendidas=125.000/250=500.

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