Suma De Vectores

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo de es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido V. La función (que toma como argumentos dos elementos de V, y devuelve un elemento del cuerpo K) debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:

2. Hermiticidad: ,

3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,

donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por o por .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo

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