Suma de vectores

Suma de vectores 

Si tenemos dos vectores [pic 1] y [pic 2], entonces la suma de [pic 3] y [pic 4] es 

[pic 5] 

En otras palabras, el vector suma de [pic 6] y [pic 7] es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de [pic 8] se suma con la primera componente de [pic 9], y la segunda componente de [pic 10] se suma con la segunda componente de [pic 11]. 

 Interpretación gráfica de la suma 

Observemos la siguiente gráfica que muestra la suma de los vectores [pic 12] y [pic 13]: 

[pic 14]

Si [pic 15] y [pic 16] son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente primero se elige el representante de [pic 17] cuyo origen es el extremo de [pic 18]. Luego, [pic 19] es el vector cuyo origen es el origen de [pic 20] y cuyo extremo es el extremo de [pic 21].

Notemos que también se puede elegir un representante de [pic 22] tal que su origen sea el extremo de [pic 23]. La suma [pic 24] tendrá el mismo valor, pero ahora la obtendremos uniendo el origen de [pic 25] con el extremo de [pic 26]. 

Regla del paralelogramo 

Lo que discutimos anteriormente como la suma gráfica de los vectores se conoce como regla del paralelogramo. En particular, si queremos sumar dos vectores libres con origen en común, entonces ebemos trazar rectas paralelas a los vectores. De esta forma se obtiene un paralelogramo cuya diagonal —que inicia en el origen de los vectores— es la suma misma de los vectores.

Observa la siguiente figura que muestra la regla del paralelogramo

[pic 27]

Resta de vectores

La resta de dos vectores [pic 28] y [pic 29] simplemente es la suma de [pic 30] con [pic 31] (es decir, el opuesto de [pic 32]).

De este modo, si consideramos los componentes de [pic 33] y [pic 34], entonces la resta está dada por

[pic 35]

Gráficamente, la resta de [pic 36] y [pic 37] se obtiene igual que la suma. La única diferencia es que sumamos el opuesto de [pic 38]. Observa la siguiente figura que muestra a [pic 39] y nota que en el extremo de [pic 40] se coloca el origen de [pic 41].

[pic 42]

Observemos que la resta [pic 43] gráficamente es el vector que une el extremo de [pic 44] con el extremo de [pic 45] tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Producto de vector por escalar

La multiplicación de un vector [pic 46] por un número [pic 47] se escribe [pic 48] o [pic 49]. El número [pic 50] también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector que satisface las siguientes propiedades:

• [pic 51] tiene la misma dirección que [pic 52].
• Si [pic 53] es positivo, entonces [pic 54] tiene el mismo sentido que [pic 55].
• Si [pic 56] es negativo, entonces [pic 57] tiene el sentido contrario que [pic 58].
• El módulo de [pic 59] es [pic 60]

Observemos la siguiente figura que representa la multiplicación de [pic 61] por 3.

[pic 62]

En términos de componentes, si [pic 63], entonces la multiplicación por escalar está dada por

[pic 64]

Ejemplos de ejercicios con vectores

Consideremos los vectores [pic 65] y [pic 66]. Entonces:

1 La suma está dada por:

 [pic 67]

2 La resta es:

 [pic 68]

3 El opuesto de [pic 69] es:

[pic 70]

4 El producto escalar de [pic 71] por 3 está dado por:

[pic 72]

[pic 73]

Principios de la Guerra

EL PRETEXTO PARA TODAS LAS GUERRAS: CONSEGUIR LA PAZ….

(JACINTO BENAVENTE)

       Los principios son reglas o normas que orientan la acción de un ser humano cambiando las facultades espirituales racionales. Se trata de normas de carácter general y universal, como, por ejemplo: amar al prójimo, no mentir, respetar la vida de las demás personas, etc. Los principios morales también se llaman máximas o precepto constitucional.

...