Suma de Bernoulli’s.

Ejercicio 1: Suma de Bernoulli’s.

Si Xi _ Bernoulli(p) para toda i, encuentra cómo distribuye

La suma desde i=1 hasta n de Xi

Pista: Toma un n y p fijos, digamos, 5 y .5, y simula mil veces la suma de 5 Bernoulli’s(.5).

Grafica el histograma.

¿Se parece a una binomial? Estima los parámetros a partir de las muestras (lo hiciste en algún parcial).

El parecido a una distribución Binomial es muy grande, como sabemos una Bernoulli realmente es un caso específico de la distribución Binomial donde n=1 ( B~ (1, p) ), o lo que es lo mismo una B~ (n, p) es la suma de n Bernouilli´s (p). Sabiendo esto podemos obtener fácilmente los parámetros de la v.a Z, donde Z es la v.a de la suma de 5 Bernoulli’s,

Z =X1 ~ B(p) + X2 ~ B(p) + X3 ~ B(p) + X4 ~ B(p) + X5 ~ B(p) evidentemente las Xi con i=1,2,3,4,5 , tienen el parámetro p=0.5, entonces Z ~ B(n ,p) como en este caso estamos haciendo 5 ensayos Bernoulli’s entonces Z tendrá los parámetros n=5 y p=0.5 (“Z ~ B(5 ,0.5) “).

Ejercicio 2: Suma de exponenciales

El siguiente ejercicio es más que probabilidad, es una muy breve introducción a métodos estadísticos que aprenderás en su momento. Tómatelo con calma, es más fácil de lo que parece.

Supón que X1, X2 y X3 distribuyen exponencial, todas con parámetro lamda= 1. Deseamos saber cómo distribuye la suma de estas tres v.a’s. Es decir, queremos ver cómo distribuye Z = X1 + X2 + X3.

1. Genera una muestra aleatoria de tamaño 100 mil de la v.a. Z

2. Genera el histograma de tu muestra, con una partición mayor o igual a 20 barras.

3. La suma de v.a’s continuas es también una v.a. continua y por lo tanto Z no puede ser discreta, lo que reduce las opciones. Haz memoria, ¿qué v.a. continúa tiene ese tipo de histogramas?

La v.a continua que tiene un comportamiento similar al anterior histograma es la distribución gamma, entonces podemos concluir que la suma de v.a exponenciales distribuye gamma.

4. Si ya viste de qué v.a. se trata, ya casi terminaste el problema. Lo que sigue es encimarle la densidad teórica (ponla con color rojo para que contraste) al histograma adecuadamente normalizado (para que ajuste bien a la gráfica). Para esto tienes que dar los parámetros de

la v.a., parámetros que desconoces. Supón que yo te diera los valores, no de los parámetros de la v.a., sino de su media y varianza teóricas.

¿Podrías encontrar los parámetros a partir de esos dos valores que te doy? (La respuesta es sí, y de hecho ya resolviste un ejercicio similar en algún parcial, cuando te di la esperanza y varianza de una Binomial).

Encuentralos.

5. El ejercicio ya estaría terminado si tuvieras la media y varianza de la v.a., pues con esos valores puedes recuperar los parámetros de tu distribución. Hay una noticia buena y una mala. La mala es que no tienes los valores teóricos de la media y la varianza. La buena es que tienes tu muestra aleatoria, y es suficientemente grande como para que estimes la media y la varianza partir de tu muestra. Con eso ya puedes obtener también un estimado de los parámetros de tu distribución, muy cercano a los parámetros teóricos gracias a la Ley de los Grandes Números, de modo que ya puedes completar el ejercicio.

En la muestra que realice obtuve la siguiente varianza y el siguiente promedio:

Promedio = 2.9986

Varianza = 3.0017

Sabemos que la v.a que tiene un histograma muy similar al que realizamos en el inciso 2 es una distribución Gamma, ahora si Z~ Gamma( k, θ ) la varianza y el promedio teórico serán:

(promedio)

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