TEOREMA DE STOCKES

TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada C y una integral doble sobre una región plana D, acotada por C. Al enunciar el teorema de Green utilizamos la convención de que la orientación es positiva de una curva cerrada sencilla C se refiere a una curva transversal de C en sentido contrario a las manecillas del reloj. Por lo tanto, si C está dada por la función vectorial punto atraviesa C. entonces la región D siempre está a la izquierda, conforme el

TEOREMA Sea C una curva en el plano simple y cerrada, suave, a pedazos y orientada positivamente, y sea D la región acotada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a D, entonces

Debe considerarse al teorema de Green como el análogo del teorema fundamental del Cálculo para las integrales dobles., el teorema de Green no es fácil de demostrar en los términos generales que plantea el teorema fundamental, pero aquí está una demostración para el caso especial en la que la región es del tipo I y del tipo, llamemos a dichas regiones, regiones simples. De mostración de Teorema de Green para el caso en el que D es una región simple Observar que el teorema de Green quedará demostrado si podemos probar que

Y

Probamos de la primera ecuación, al expresar D como una región del tipo I:

En donde

y

son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble

del miembro derecho de la primera ecuación, de la siguiente manera:

En donde el último paso se deduce del teorema fundamental del cálculo. Ahora calculamos el miembro izquierdo de la primera ecuación, al expresar C como la unión de las cuatro curvas C1, C2, C3 y C4 (considérese que una región plana D, está encerrada por cuatro curvas convergidas en una sola). Sobre C1, tomamos a x como el parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas como . Por consiguiente

Observar que una curva (considerar C3) va de derecha a izquierda, pero su opuesto (-C3) lo hace en sentido contrario, de modo que podemos escribir las ecuaciones paramétricas de -C3 como . Así pues,

Sobre las últimas curvas (cualquiera de ellas puede reducirse a sólo un punto), x es constante, por lo que dx =0 y

En consecuencia

Al comparar esta ecuación, con la tercera, vemos que

La segunda ecuación puede demostrarse en gran medida de la misma forma, al expresar a D como una región del tipo II. En consecuencia, al sumar las ecuaciones primera y segunda, obtenemos el teorema de Green.

TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para una dimensión más alta. Mientras que el teorema de Green relaciona una

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