TEOREMA DE STOKES

16.8 TEOREMA DE STOKES

Se puede considerar que el teorema de Stokes es una versión para varias dimensiones del teorema de Green. Éste relaciona una integral doble en una región D plana con una integral de línea alrededor de su curva frontera plana, y el teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva

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El teorema de Stokes establece que la integral de línea alrededor de la curva frontera de S de la componente tangencial de F es igual a la integral de superficie de la componente normal del rotacional de F. La curva orientada en forma positiva de la superficie orientada S se escribe a menudo como, de modo que el teorema de Stokes se puede expresar como

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DEMOSTRACIÓN DE UN CASO ESPECIAL DEL TEOREMA DE STOKES Suponga que la ecuación de S es z = g(x,y)(x,y), donde t tiene derivadas parciales continuas de segundo orden y D es una región simple del plano cuya curva frontera C1 corresponde a C. Si la orientación de S es hacia arriba, entonces la orientación positiva de C corresponde a la orientación positiva de C1 véase figura 2. Sabe que F = Pi+Qj+Rk , donde las derivadas parciales de P, Q y R son continuas.

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Con ayuda de la regla de la cadena, esto permite evaluar la integral de línea como sigue:

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donde se aplica el teorema de Green en el último paso. Luego, al aplicar otra vez la regla de la cadena y al recordar que P, Q y R son funciones de x, y y z y que la misma z es una función de x y y, obtiene

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16.9 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

En la sección 16.5 está expresado el teorema de Green en la versión vectorial como

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donde C es la curva frontera orientada en la dirección positiva de la región D del plano. Si estuviera tratando de generalizar este teorema a los campos vectoriales sobre , podría plantear la conjetura de que[pic 7]

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donde S es la superficie frontera de la región sólida E. Resulta que la ecuación 1 es cierta, con las hipótesis adecuadas, y se llama teorema de la divergencia. Observe su similitud con el teorema de Green y el teorema de Stokes: este teorema relaciona la integral de una derivada de una función (div F en este caso) en una región con la integral de la función original F en la frontera de la región

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Por consiguiente, el teorema de la divergencia plantea que bajo las condiciones dadas, el flujo de F en el límite de la superficie es igual a la integral triple de la divergencia de F sobre E

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