Teorema De Green Y De Stokes
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Dedicatoria:
Este trabajo lo dedicamos a nuestros padres que nos brindan apoyo incondicional y a nuestro profesor quien nos proporciona y nos da su ejemplo profesional nos ayuda a nuestro desarrollo como futuros ingenieros.
INDICE
INTRODUCCION 4
OBJETIVOS 5
NOCIONES PREVIAS 6
CAPITULOS 7
Capitulo I. George Green 8
Capitulo II. Teorema de Green 11
Capitulo III.Sir George Gabriel Stokes 25
Capitulo IV. Teorema de Stokes 32
Capitulo V. Ejercicios resueltos del teorema de
Green y el teorema de Stokes 39
CONCLUSIONES 68
RECOMENDACIONES 69
BIBLIOGRAFIA 70
ANEXOS 71
INTRODUCCION
En este trabajo daremos a conocer el teorema de Stokes que en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson.
Como seguramente se estará sospechando, ahora la pregunta es: ¿el Teorema de Green se puede “extender” al cálculo de integrales sobre conjuntos dos-dimensionales no necesariamente planos, es decir, superficie? La respuesta es que sí y eso es justo de lo que trata el Teorema de Stokes.
Para el Teorema de Stokes, es mejor deducirlo a partir de la interpretación física y geométrica de los conceptos que involucra, que en este caso son el de integral de superficie y el del rotacional de un campo. Como en el caso de los teoremas que hemos mencionado, el Teorema de Stokes trata de cómo calcular la integral sobre una superficie S de un cierto tipo de “derivada” de una función F de 〖 R〗^3 en R , el rotacional de F (RotF), es decir, trata de : ∫s RotF dσ
También veremos el teorema de Green (1793-1814) que es un caso particular del teorema de Stokes en el cual establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada C y una integral doble sobre una región plana D, acotada por C.
Por otro parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.
OBJETIVO
OBJETIVO GENERAL
Estudiar con profundidad, analizar e interpretar el teorema de Green y Stokes.
OBJETIVOS ESPECÌFICOS
Demostrar el teorema de Green y el teorema de Stokes.
Conocer más sobre los autores de estos teoremas a través de su biografía.
Resolver ejercicios donde se apliquen estos teoremas.
NOCIONES PREVIAS
CURVA CERRADA Y SIMPLE
Sea C una curva suave definida por una función vectorial: [a, b] ,
Se dice que es cerrada si: (a)= (b)
Si además es uno a uno en [a, b), C es
R 2,),cerrada y simple.
UNA CURVA CERRADA QUE NO ES SIMPLE
C es cerrada si: (a)= (b)
No es uno a uno en [a, b), C se corta
asi misma, C no es simple.
UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA
POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)
UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA
NEGATIVA (Sentido Horario)
CAPITULOS
CAPITULO I. GEORGE GREEN
George Green (14 de julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un científico autodidacta. Vivió la mayor parte de su vida en Sneinton, Nottinghamshire, actualmente parte de la ciudad de Nottingham. Su padre, también llamado George, era un panadero que poseía un molino de viento para preparar la harina. El joven George Green solo asistió de forma regular a la escuela durante un año entre los 8 y 9 años ayudando a su padre posteriormente.
Al ser Nottingham un pueblo pobre en recursos intelectuales, no se ha podido dilucidar por parte de los historiadores de donde obtenía Green la información necesaria para su desarrollo en matemáticas. Solo se conoce una persona que haya vivido en Nottingham durante esa época, con los suficientes conocimientos matemáticos: John Toplis. Cuando Green publicó su ensayo en 1828, fue vendido como una suscripción a 51 personas, la mayoría de las cuales eran probablemente amigos y sin ninguna idea de sobre matemáticas.
El acaudalado terrateniente y matemático Edward Bromhead compró una copia y animó a Green a ir más lejos en su trabajo matemático. Sin embargo, Green no confió en su mentor y no volvió a contactar con él durante dos años.
Luego de esos dos años, Bromhead realizó las gestiones para que Green ingresara a la Universidad de Cambridge. Green ingresó como estudiante a la edad de 40 años. Su carrera académica fue excelente, y tras de su graduación en 1837 permaneció en la facultad, en la Escuela Gonville y Caius. Escribió sobre óptica, acústica e
hidrodinámica, y a pesar que sus escritos posteriores no tuvieron la relevancia de su Ensayo, de igual manera fueron muy reputados. Los trabajos de Green sobre el movimiento de las olas en un canal anticipa la aproximación WKB de mecánica cuántica, mientras que su investigación sobre ondas lumínicas y de las propiedades del Éter producían lo que hoy es conocido como las Medidas de deformación de rotación independiente.
George Green fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. También aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema de Green.
En 1839 fue electo miembro de la junta directiva de la escuela; de todas maneras, disfrutaría los privilegios del cargo por un corto tiempo: en 1840 cae enfermo y regresa a Nottingham, donde muere un año después.
El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad matemática durante su vida. En 1846, su trabajo fue redescubierto por un joven William Thomson, quien lo hizo popular entre los futuros matemáticos de la época.
En la actualidad, la Biblioteca George Green de la Universidad de Nottingham alberga gran parte de la colección de ciencias e ingeniería de la universidad. En 1986, el molino de los Green fue restaurado. Ahora funciona como museo y centro científico.
En una visita a Nottingham en 1930, Albert Einstein comentó que Green estuvo 20 años adelantado a su época. El físico teórico Julian Schwinger, quién usó parte de la obra de Green en su trabajo sobre investigación de avanzada, publicó un tributo titulado "The Greening of Quantum Field Theory: George and I".
CAPITULO II. TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior ´esta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este capítulo ilustrarán las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3en los siguientes capítulos.
Antes de enunciar el teorema de Green convendría precisar qué entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra orientación? ¿Qué hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2, parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por
N(t)=1/√(x^' 〖(t)〗^2+y'〖(t)〗^2 ) 〖(x〗^' 〖(t)〗^ ,-y'〖(t))〗^
Nótese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) =〖(x〗^' 〖(t)〗^ ,y'〖(t))〗^ Consideremos estos vectores sumergidos en R3(con coordenada z = 0). Diremos que C está orientada positivamente si el producto vectorial N × V (que tiene la dirección del eje z en este caso) tiene coordenada z positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definición corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientación positiva entonces N apunta hacia afuera de la región interior a C, y que dicha región interior queda siempre a mano izquierda según se va recorriendo C.
Otra posibilidad para definir la orientación de una curva cerrada simple seria utilizar el número de giros (the winding number);Diremos que una curva cerrada simple C ⊂ R2es regular a trozos si se puede parametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como concatenación γ1 ∗ ... ∗ γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R2cada uno de los cuales es de clase C1y satisface que γ’j(t)≠ 0 para todo t ∈ [aj, bj] (en particular, γ podría dejar de ser diferenciable en una cantidad finita de puntos, pero incluso en estos tendría derivadas laterales). Para esta clase de curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema de Green.
TEOREMA DE GREEN
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2, y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F=(P,Q):D ⟶ R^2 un campo vectorial de clase C1 . Entonces se tiene que.
COLOLARIO.
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, y sea D la region interior aC. Entonces su área es
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE GREEN
Tenemos que probar la siguiente igualdad
……………(*)
A tal fin, observemos que la validez de (∗) para todos los campos F = (P, Q) de clase C1sobre D equivale a la de las dos fórmulas siguientes
También para todos los campos F= (P, Q) de clase C1en D. En efecto, si estas fórmulas son válidas, obtenemos (∗) sin más que sumarlas. Recíprocamente, si (∗) es cierta podemos obtener 11.1 tomando Q= 0 en (∗), y análogamente 11.2, tomando P = 0 en (∗).
Paso 1.
La primera parte de la demostración del teorema de Green consiste
en probar 11.1 para una clase especial de recinto D, que denominaremos recinto de tipo I; un tal recinto seria el limitado por las gráficas de dos funciones y = f (x), y = g(x), con f ≤ g. Es decir, supondremos en primer lugar que D = {(x, y) ∈ R2: a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}, donde f y g son funciones reales de clase C1a trozos. Este recinto D está limitado por una curva cerrada simple C=∂D regular a trozos que puede expresarse como concatenación de cuatro caminos regulares a trozos:
C = C1 + C2 − C3 − C4,
(Como es costumbre, los signos negativos que preceden a un camino denotan que se recorre el camino en sentido opuesto al especificado); aquí,C1 está parametrizado por γ1(t) = (t, f (t)),a≤ t ≤ b;C2 lo está por γ2(t) = (b, t), con f(b)≤t≤ g(b); C3 es γ 3(t) = (t, g(t)),a≤ t ≤b; y C4 viene dado por γ4(t) = (a, t),f (a) ≤ t ≤ g(a). Nótese que, a lo largo de C2y de C4, x = x(t) es constante, luego dx = 0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de línea se anularían, mientras que sobre los restantes caminos es dx = 1. Entonces se tiene que
y por otra parte, aplicando el teorema de Fubini y el teorema fundamental del cálculo
Combinando las igualdades anteriores obtenemos 11.1
Paso 2.
Ahora probaremos 11.2 para otra clase especial de recinto D, que denominaremos recinto de tipo II, el limitado por las gráficas de dos funciones x = ϕ(y), x = ψ(y), con ϕ ≤ ψ. Es decir, ahora tenemos que
D = {(x, y) ∈ R2: c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)},
con ϕ, ψ funciones reales de clase C1a trozos. Como antes, D esta limitado por una curva cerrada simple C = ∂D regular a trozos que puede expresarse como concatenación de cuatro caminos regulares a trozos:
C = −C1 + C2 + C3 − C4,
donde C1est´a parametrizado por γ1(t) = (ϕ(t), t), c ≤ t ≤ d; C2es γ2(t) =(t, c), con ϕ(c)≤t≤ψ(c);C3 es γ3(t) = (ψ(t), t),c≤t≤d; y C4 es γ4(t) = (t, d), con ϕ(d) ≤ t ≤ ψ(d). A lo largo de C2 y de C4, y =y(t) es constante, luego dy=0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de línea son cero; para C1y C3se tiene dy = 1. Entonces
Y por otro lado,
Luego, juntando estas igualdades, obtenemos 11.2
Paso 3.
De acuerdo con la observación que hemos hecho antes y con lo probado en los pasos 1 y 2, la fórmula de Green (∗) es válida para toda región D que sea a la vez de tipo I y de tipo II. Todos los círculos, los rectángulos y los triángulos constituyen ejemplos de regiones que son de tipo I y II simultáneamente. Por tanto, el teorema de Green es válido para todos estos tipos de curvas. También podría probarse, utilizando el teorema del cambio de variables, que la igualdad (∗) es cierta para cualquier región D que sea difeomorfa con un circulo, un rectángulo o un triángulo (ejercicio11.12).
Paso 4.
El siguiente paso consiste en establecer la validez de (∗) para toda región D que pueda descomponerse como unión finita de regiones simultáneamente de tipo I y II. Más precisamente, se prueba (∗) para todo recinto D ⊂ R2de la forma
donde todos los Di son regiones de tipo I y II simultáneamente, con interiores disjuntos dos a dos, y cuyos bordes, Ci= ∂Di, están positivamente orientados, y de forma que se cumplen: si una curva Ci tiene una parte en común con otro camino Cj entonces esa parte no es común a ningún otro Ck con k6= i, j; si Ci tiene un trozo en común con Cj entonces Ci recorre ese trozo común en sentido contrario al que lo hace Cj ; y si Ci tiene un trozo en común con C= ∂D entonces ambos caminos recorren dicho trozo en el mismo sentido.
Podemos aplicar la fórmula (∗) a cada región Di y sumar todas las igualdades correspondientes para obtener que
Pero en esta suma de integrales de línea, las integrales sobre Ci=∂Di
pueden descomponerse a su vez en sumas finitas de integrales sobre curvas simples de dos tipos: o bien son trozos del camino Ci comunes a algún otro de los Cj, o bien son partes de C = ∂D. La suma total de todas las integrales sobre caminos del primero de estos tipos es igual a cero ya que, al integrar y sumar, cada una de estas curvas se recorre exactamente dos veces, y con orientaciones opuestas, de modo que la suma de las dos integrales que se hacen sobre cada camino del primer tipo es cero. Por otro lado, la suma de todas las integrales sobre los caminos del segundo tipo es igual a la integral del campo (P, Q) sobre C, ya que C puede expresarse como concatenación
de todos los caminos del segundo tipo. Por consiguiente,
∑_(i=1)^n▒∫_∂Di▒〖Pdx+Qdy=∫_∂D▒〖Pdx+Qdy〗〗
lo que combinado con las igualdades anteriores nos permite concluir que
∫_∂D▒〖Pdx+Qdy=∫_∂D▒(∂Q/∂x- ∂P/∂y)dxdy〗
para todo recinto que pueda romperse en una cantidad finita de recintos de tipo I y II simultáneamente. En particular se obtiene que (∗) es válida para toda curva cerrada simple E que sea poligonal (a saber, concatenación finita de segmentos de recta), ya que una tal curva siempre puede triangularse, es decir expresarse como una unión finita.
E= ⋃_(i=1)^n▒〖Τi 〗
donde los Ti son triángulos (y por tanto regiones de tipo I y II simultáneamente) orientados de modo que si Ti y Tj tienen un lado común entonces Ti recorre este lado en sentido contrario a como lo hace Tj (hágase aquí otro dibujo).
Paso 5.
La ultima parte de la prueba del teorema de Green consiste en aproximar la curva dada C por una curva cerrada simple poligonal P de modo que la región D interior a P queda dentro del dominio del campo F=(P,Q) y cuyo área, α(D). Se aplica entonces el teorema de Green establecido en el paso anterior para curvas cerradas simples poligonales y concluye que (*) es aproximadamente válida para D, más o menos un cierto error ε que a continuación haremos tender a cero, obteniendo así (*) en toda su generalidad el enunciado del teorema 11.1. Esta última parte de la demostración, que detallamos a continuación, es bastante pesada técnicamente y puede muy bien omitirse en una primera lectura.
Sea pues C una curva cerrada simple regular a trozos, y supongamos que esta parametrizada por γ:[a,b]→R^2. Fijemos ε>0. Para empezar, debe observarse a un abierto que contiene a D (seguiremos denotando esta expresión como F). Como consecuencia de esto y de la compacidad de D, existe un abierto A que contiene a D y con dist (∂A,∂D)>0 y de modo que F es Lipschitz y de clase C1 en todo A.
Definamos
M=sup{|∂Q/∂x-∂P/∂y)|┤:(x,y)∈├ A} + sup{⟦F(x,y)⟧: ┤ (x,y)∈├ A}+1
Por otra parte, al ser γ concatenación de caminos C1, es un camio Lipschitz y por tanto, eligiendo
deducimos que si a = t 0< t1< ... < tN= b es una partición de [a, b] con la propiedad de que ti − ti−1≤ δ0para todo i = 1, ..., N entonces la curva poligonal P que une los puntos γ (t0), γ(t1), ..., γ(tN−1),γ (tN) = γ(t0) (en este orden) está dentro de A. Además, como C es cerrada simple, podemos suponer (añadiendo más puntos a la partición de [a, b] si fuera necesario) que la poligonal P así obtenida es también cerrada simple y entonces la región interior a esta poligonal P también queda dentro de A. Por otra parte también tenemos que, para cualesquiera ∈ [0, 1],
Ahora bien, si σi(t) = (1 − t)γ( −1) + tγ( ), t ∈ [0, 1], es el segmento que une los puntos γ( ) y γ ( ), podemos aplicar el teorema del valor medio para integrales para encontrar si∈ [0, 1] de modo que
Y por tanto, para esta elección de si, obtenemos
Lo que, combinado con la desigualdad anterior, nos da
(1)
y esto vale para toda curva poligonal cerrada simple P que una los puntos γ (t0), γ(t1), ..., γ(tN ), siendo a = t0< t1< ... < tN= b y ti − ti−1≤ δ0 para todo i.
Por otro lado, aplicando el teorema de Darboux a la integral ∫γ P dx +Q dy, obtenemos δ1> 0, que podemos suponer menor o igual que δ0, tal que, si a = t0 < t1< ... < tN = b es partición de [a, b] y |ti − ti−1 | ≤ δ1 para todo i = 1, ..., N , entonces
Cualesquiera que sean los ci ∈ [t−1, ti]
Además, fijada una de estas particiones a = t0< t1< ... < tN= b de
[a, b], como γ = γ1 ∗ ...∗ γk es concatenación de caminos de clase C1, podemos suponer (añadiendo puntos, si fuera necesario, a dicha partición) que γ es de clase C1en cada intervalo [ti−1, ti]; en particular γ es uniformemente diferenciable en cada intervalo [ti−1, ti] (ver el problema 7.29, y téngase en cuenta que γ podría no ser derivable en los extremos del intervalo [ti−1, ti], pero en todo caso sí tiene derivadas laterales en dichos extremos, y las derivadas son continuas), luego existe δ2 > 0, que podemos suponer menor o igual que δ1, tal que si ti−1 ≤ s ≤ t ≤ ti y |t − s| ≤ δ2 entonces
Podemos entonces añadir todos los puntos necesarios a la partición de [a, b] sobre la que venimos trabajando para que la nueva partición, que seguiremos denotando a = t0< t1< ... < tN= b, satisfaga que ti− ti−1≤ δ2≤ δ1≤ δ0,y por tanto también que
(2)
A la vez que
Pero esta última desigualdad implica que
Lo que junto con (2) permite obtener
, (3)
Y que a su vez combinado con (1) nos da
(4)
para toda curva cerrada simple poligonal P que una γ(t1), γ(t2), ..., γ(tN −1), γ(tN) =γ(t0), en este orden, y siempre y cuando 0< ti− ti−1 ≤ δ2≤ δ1 para todo i = 1, ..., N .
Por otra parte, como ∂D = C tiene contenido cero, existe una colección finita Q1, ..., Qk de cubos abiertos que recubren C y cuyos volúmenes suman menos que ε/M. Definamos U=⋃_(j=1)^k▒Q_j . Como U es abierto y contiene al compacto C, tenemos que la distancia de C al complementario de U es positiva, es decir, d(C, R2\ U ) > 0. Pongamos ahora
Entonces, añadiendo puntos si fuera necesario a la partición a=t_0<t_1<⋯<t_n de [a,b] sobre la que venimos trabajando, podemos suponer que t_i-t_(i-1)≤δ_3 para todo i=1,…,N,lo cual implica que la poligonal Ƥ que une los puntos γ(t_1 ),γ(t_2 ),…,γ(t_N )=γ(t_0) queda dentro del abierto U (en efecto, para todo z del segmento [γ(t_(i-1) ),γ(t_i)] ,se tiene
d(z,C)≤Lip(γ)(t_i-t_(i-1) )≤Lip(γ)d(C,R^2\U)/2(Lip(γ)+1) <d(C,R^2\U),luego z ∈U.
Definamos también W=D∪U y V=D\U , que son conjuntos con área que cumplen que
a(D)-ε/M≤a(D)-a(U)≤a(V)≤a(D)≤a(W)≤a(D)+a(U)≤a(D)+ε/M.
Sea entonces D la región interior a la poligonal simple cerrada simple P que une los puntos γ(t_1 ),γ(t_2 ),…,γ(t_N )=γ(t_0) en ese orden. Como P⊂U, es claro que
V⊂D⊂W,
Y entonces
a(D)-ε/M≤a(V)≤a(D)≤a(W)≤a(D)+ε/M.
Por consiguiente,
|∫_D▒〖(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy-∫_D▒(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy〗|≤∫_(R^2)▒|∂Q/∂x-∂P/∂y| |1_D- 1_D |dxdy≤∫_(R^2)▒█(M|1_D- 1_D |dxdy≤M(a(D/D)+a(D/D))≤M(ε/M+ε/M)=2ε,@ )
Es decir
|∫_D▒〖(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy-∫_D▒(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy〗|≤2ε. ……. (5)
Finalmente, combinado (4) y (5) y usando que
∫_P▒〖Pdx+Qdy=∫_D▒(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy〗
CAPITULO III. SIR GEORGE GABRIEL STOKES
George Stokes Primer Baronet (13 de agosto de 1819 - 1 de febrero de 1903) fue el hijo menor del Reverendo Gabriel Stokes, rector de Skreen, en el condado de Sligo. Allí nació y creció George, en el seno de una familia protestante evangélica. Después de haber estudiado en Skreen, Dublín y Bristol, George se matriculó en 1837 en Pembroke College, en la Universidad de Cambridge, donde cuatro años más tarde, tras graduarse con los más altos honores (los de Senior Wrangler y el primer Premio Smith), fue elegido para ocupar una plaza de profesor.
George Stokes ocupa esta plaza hasta 1857, cuando se ve obligado a renunciar a ella por haber contraído matrimonio (ambas cosas eran incompatibles según los estatutos de su facultad universitaria). Sin embargo, doce años más tarde, tras haber sido modificados los estatutos, es reelegido. Ocuparía dicha plaza hasta 1902, año en el que fue promocionado a la mastership de su facultad. No obstante, no podría gozar demasiado de esta posición, pues moriría en Cambridge el 1 de febrero del año siguiente.
En 1849 le fue concedida la Cátedra Lucasiana de matemáticas de la Universidad de Cambridge. El 1 de junio de 1899 se celebró en Cambridge el jubileo de su nominación, en una ceremonia brillante a la que asistieron numerosos delegados de universidades europeas y americanas. En dicha ceremonia el rector de la universidad le dio una medalla de oro conmemorativa y bustos de mármol de Stokes creados por Hamo Thornycroft fueron dados a Pembroke College y la universidad por Lord Kelvin. Sir George Stokes, que fue nombrado baronet en 1889, también sirvió a su universidad representándola en el parlamento desde 1887 hasta 1892, como uno de los dos miembros de la Cambridge University Constituency. Durante parte de este periodo (1885-1890) fue presidente de la Royal Society, de la que había sido secretario desde 1854, y de esta manera, siendo a la vez Profesor Lucasiano, unió en sí mismo tres cargos que sólo en una ocasión habían estado en manos de un solo individuo, Sir Isaac Newton, quien, no obstante, no ocupó las tres simultáneamente.
Stokes fue el mayor del trio de filósofos naturales, los otros dos fueron James Clerk Maxwelly Lord Kelvin, que contribuyeron especialmente a la fama de la escuela de Cambridge de física matemática a mediados del siglo XIX. El trabajo original de Stokes empezó sobre 1840, y desde esa fecha en adelante la gran cantidad de trabajo que produjo fue solamente superada por la brillantez y enorme calidad del mismo. El catálogo de artículos científicos de la Royal Society muestra los títulos de más de cien contribuciones hechas por él hasta 1883. Algunas de éstas son sólo notas breves, pero la mayoría son tratados largos y elaborados.
CONTRIBUCIONES A LA CIENCIA:
El trabajo de Stokes se distingue por su precisión y su sentido de la finalidad. Incluso en problemas que en su tiempo no se consideraban susceptibles de análisis matemático, Stokes fue capaz en muchos casos de aportar soluciones que dejaron sentadas las bases para el progreso posterior. Este hecho se explica por su extraordinaria combinación de capacidad matemática y habilidad experimental. Desde el momento en que, sobre 1840, puso a punto sus primeros aparatos físicos simples en Pembroke College, matemáticas y experimento siempre fueron de la mano, ayudándose y controlándose mutuamente. Su trabajo abarcó un amplio abanico de cuestiones físicas, pero, comoMarie Alfred Cornu remarcó en su conferencia [Rede]] de 1899, la mayor parte del mismo versó sobre ondas y las transformaciones sufridas por éstas al pasar a través de varios medios.
Sus primeros artículos publicados, que aparecieron en 1842 y 1843, trataban del movimiento uniforme de fluidos incompresibles y algunos casos de movimiento fluido. A éstos les siguió uno en 1845 sobre la fricción de fluidos en movimiento y el equilibrio y movimiento de sólidos elásticos y en 1850 otro sobre los efectos de la fricción interna de los fluidos sobre el movimiento de los péndulos. También realizó varias contribuciones a la teoría del sonido, incluyendo una discusión del efecto del viento sobre la intensidad del sonido y una explicación de cómo la intensidad es influenciada por la naturaleza del gas en cuyo seno se produce el sonido. Estas investigaciones sentaron las bases de la ciencia de la hidrodinámica y proporcionaron claves no sólo para la explicación de muchos fenómenos naturales, tales como la suspensión de las nubes en el aire o el hundimiento de las olas en el agua, sino también para la solución de problemas prácticos, como el flujo de agua en ríos y canales o la resistencia al movimiento de los barcos.
Su labor en relación al movimiento de los fluidos y la viscosidad le llevó a calcular la velocidad terminal de una esfera que cae en un medio viscoso, lo cual pasó a conocerse como la ley de Stokes. Más adelante la unidad CGS de viscosidad pasaría a llamarse el Stokes, en honor a su trabajo.
Quizá sus investigaciones mejor conocidas son las referentes a la teoría ondulatoria de la luz. Sus trabajos sobre óptica empezaron pronto en su carrera científica. Los primeros artículos sobre aberración de la luz aparecieron en 1845 y 1846 fueron continuados en 1848 por uno sobre la teoría de ciertas bandas del espectro electromagnético. En 1849 publicó un largo trabajo sobre la teoría dinámica de la difracción, en el cual mostraba que el plano de polarización debe ser perpendicular a la dirección de propagación. Dos años después trató de los colores de placas gruesas.
En 1852, en su famoso trabajo sobre el cambio en la longitud de onda de la luz, describió el fenómeno de la fluorescencia, tal y como la mostraban la fluorita y el cristal de uranio, materiales que él vio como capaces de convertir lo invisible radiación ultravioleta en radiaciones de mayor longitud de onda, visibles. El desplazamiento de Stokes, que describe dicha conversión, es llamado en su honor. A continuación, un modelo mecánico que ilustraba el principio dinámico de la explicación de Stokes fue propuesto y de éste surgió el concepto de línea de Stokes, que a su vez es la base de la dispersión Raman. En 1883, durante una conferencia en la Royal Institution, Lord Kelvin dijo que Stokes le había contado este fenómeno muchos años atrás y que él le había insistido, en vano, para que lo publicara.
Ese mismo año, 1852, apareció el artículo sobre la composición y resolución de corrientes de luz polarizada de distintas fuentes, y en 1853una investigación de la reflexión metálica exhibida por ciertas sustancias no-metálicas. Hacia 1860 se metió en un estudio sobre la intensidad de la luz reflejada o transmitida a través de una pila de placas; y en 1862 preparó un valioso informe para la Asociación británica para el avance de la ciencia (BAAS) sobre la doble refracción. De la misma fecha es un artículo sobre el largo espectro de la luz eléctrica, que a su vez fue seguido por un análisis del espectro de absorción de la sangre.
La identificación de compuestos orgánicos mediante sus propiedades ópticas fue tratada en 1864; y más tarde, junto con el ReverendoWilliam Vernon Harcourt, investigó la relación entre la composición química y las propiedades ópticas de varios cristales, con referencia a las condiciones de transparencia y la mejora de los telescopios acromáticos. Otro trabajo posterior también conectado con la construcción de instrumentos ópticos discutía los límites teóricos de la apertura de los objetivos de los microscopios.
En otros campos de la física cabe mencionar sus trabajos sobre la conductividad térmica en cristales (1851) y sobre el radiómetro de Crookes; su explicación del borde claro a menudo observado en las fotografías justo por fuera del perfil de un cuerpo oscuro visto con el cielo de fondo (1883); y, más tarde aún, su teoría de los rayos X, de los que sugirió que podían ser ondas transversales viajando como incontables ondas solitarias, en lugar de como trenes de ondas regulares. Dos largos artículos publicados en 1840, uno sobre atracciones y el teorema de Clairaut, y el otro sobre variaciones en la gravedad de la superficie terrestre, también merecen ser mencionados, así como sus trabajos matemáticos sobre valores críticos de sumas de series periódicas (1847), cálculos numéricos de una clase de integrales definidas y series infinitas (1850) y su discusión de una ecuación diferencial relativa a la ruptura de puentes de ferrocarril (1849).
Además de sus abundantes trabajos publicados, Stokes realizó múltiples descubrimientos que jamás llegaron a publicarse, o como mucho fueron comentados brevemente en alguna de sus conferencias orales. Un ejemplo excelente lo constituye su trabajo sobre la teoría de la espectroscopia. En su conferencia presidencial a la BAAS en 1871, Lord Kelvin afirmó su creencia de que la aplicación del análisis prismático de la luz a la química solar y estelar no había sido planteada directa o indirectamente por nadie cuando Stokes se la enseñó a él en Cambridge antes del verano de 1852. Estas afirmaciones hacen suponer que Stokes se anticipó a Gustav Robert Kirchhoff como mínimo siete años en la enunciación de las bases físicas sobre las que descansa la espectroscopia y la identificación de sustancias en el sol y las estrellas. Stokes, sin embargo, en una carta publicada unos años después de la conferencia de Lord Kelvin, dijo que él no había sido capaz de efectuar un paso esencial en su razonamiento (no se había percatado de que la emisión de luz de longitud de onda definida no sólo permitía, sino que requería, absorción de luz de la misma longitud de onda). Modestamente, Stokes negó haber tomado "parte alguna en el admirable descubrimiento de Kirchhoff", añadiendo que algunos de sus amigos lo habían defendido excesivamente. No obstante, debe decirse que los científicos británicos no están del todo convencidos de esta negación y todavía atribuyen a Stokes el mérito de haber sido el primero en formular las los principios fundamentales de la espectroscopia.
Todavía en otro sentido Stokes contribuyó grandemente al progreso de la física matemática. Poco después de ser elegido para la cátedra Lucasiana anunció que consideraba su deber profesional ayudar a cualquier miembro de la universidad en problemas matemáticos con que se pudiesen encontrar. La ayuda prestada fue tan real que los alumnos, incluso después de haberse convertido en sus colegas, no tenían ningún inconveniente en consultarle sobre los problemas matemáticos y físicos que les causaban dificultades. Más adelante, durante los treinta años en los que actuó como secretario de la Royal Society también ejerció una enorme, aunque no reconocida, influencia sobre el avance de las ciencias matemáticas y físicas, no sólo directamente por sus propias investigaciones, sino también indirectamente sugiriendo problemas para investigar y animando a gente para enfrentarse a ellos.
HONORES:
Además de los ya mencionados:
De la Royal Society, de la que pasó a ser miembro en 1851, recibió la Medalla Rumford en 1852 en reconocimiento a sus estudios sobre la longitud de onda de la luz y, más adelante, en 1893, la Medalla Copley.
En 1869 presidió la reunión de la BAAS en Exeter.
De 1883 a 1885 fue el conferenciante Burnett en la Universidad de Aberdeen,
En 1889 fue nombrado baronet.
En 1891 publicó sus conferencias Gifford en un volumen titulado Teología Natural.
Sus distinciones académicas incluyeron doctorados honoríficos por muchas universidades, así como ser miembro de la Orden Pour le Mérite de Prusia.
CAPITULO IV. TEOREMA DE STOKES
Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada, simple y regular a trozos. Sea C su curva frontera,
Regular a trozos, cerrada y simple, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial, de clase C^((1)) en alguna región que contiene a S, entonces
Para determinar la orientación positiva de la curva C frontera de S, convenimos en
Que, al recorrer C en sentido positivo con la cabeza apuntando al vector normal que indica la orientación positiva de S, la superficie queda a la izquierda.
El teorema de Stokes proporciona otra extensión del teorema fundamental de la integral al relacionar una integral de superficie con la integral de línea sobre la curva frontera a dicha superficie.
El resultado fue descubierto en realidad por el físico escoces William Thomson (lord Kelvin) y comunicado por carta a Georges Stokes (profesor lucasiano de Cambridge). ´Este lo propuso en un examen de matemáticas en 1854.
Observemos que el teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes, pues si es una superficie orientada hacia arriba, es decir
Entonces el teorema de Stokes nos da la formula
Que corresponde precisamente al teorema de Green.
Demostración. Veamos en primer lugar la demostración del teorema de Stokes en el caso particular de una superficie S definida por la función explıcita
z = f(x, y), (x, y) ∈ D, con f ∈ C^(2 )una región plana simple cuya frontera C1 es la proyección de la frontera de S sobre el plano XY.
Sea pues el campo vectorial F = (P, Q, R) de clase C^1 en una región que contiene a
S. Entonces.
Por otra parte, si C1 se parametriza por x = x(t), y = y(t), con t 2 [a, b], entonces C tiene
la parametrización x = x(t), y = y(t), z = f(x(t), y(t)), con t 2 [a, b]. Por tanto,
∫_C▒F=∫_a^b▒[P • x0(t)+ Q • y0(t)+ R • z0(t)]dt
=∫_a^b▒[P • x'(t) + Q • y'(t) + R •(∂f/∂x• 〖x'〗^' (t)+∂f/∂y• y'(t))]dt
=∫_C1▒〖[(P + R •∂f/∂x)dx +(Q+R•∂f/∂y)dy ]=(por el teorema de green〗)
=∬_D▒[∂/∂x (Q+R•∂f/∂y)dy-∂/∂y (P + R •∂f/∂x) ]dxdy
=∬_D▒[∂Q/∂x+∂Q/∂z•∂z/∂x+∂R/∂x•∂f/∂y+∂R/∂z•∂z/∂x•∂f/∂y+R•(∂^2 f)/∂y∂x-∂P/∂y-∂P/∂z•∂z/∂y-∂R/∂y•∂f/∂x-∂R/∂z•∂z/∂y•∂f/∂x-R•(∂^2 f)/∂x∂y]dxdy
Al simplificar la expresión del integrando, llegamos al mismo resultado que
Veamos ahora la demostración del caso general. Para ello, sea Φ: D una
parametrización de la superficie, de clase C^((1)) en un abierto que contiene a D U ∂D.
Si hacemos F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) y ᴓ (u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)), por definición de integral de línea,
∫_C▒F=∫_C▒〖P dx + Qdy + Rdz.〗
Por otra parte:
∬_S▒〖rot F〗=∬_D▒[(∂R/∂y-∂Q/∂z)•∂(Y,Z)/∂(u,v) +(∂P/∂z-∂R/∂x)•(∂(Z,X))/(∂(u,v))+(∂Q/∂x-∂P/∂y)•(∂(X,Y))/(∂(u,v))]dudv
Por tanto, basta probar que:
∫_C▒Pdx=∬_D▒[∂P/∂z•(∂(Z,X))/(∂(u,v))-∂P/∂y•(∂(X,Y))/(∂(u,v))]
∫_C▒Qdy=∬_D▒[∂Q/∂x•(∂(X,Y))/(∂(u,v))-∂Q/∂z•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))]
∫_C▒Rdz=∬_D▒[∂R/∂y•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))-∂R/∂x•(∂(Z,X))/(∂(u,v))]
Veamos la comprobación de la primera igualdad (las demás son completamente análogas). Si llamamos p(u, v) = P ◦ Φ(u, v) = P (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)), entonces se puede comprobar fácilmente que:
∬_D▒[∂R/∂y•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))-∂R/∂x•(∂(Z,X))/(∂(u,v))] dudv=∬_D▒[∂/∂u (p•∂x/∂v)-∂/∂v ( p •∂x/∂u) ]dudv
Si aplicamos ahora el teorema de Green a la última integral, obtenemos (llamamos C1 a la frontera de D en R2):
∬_D▒[∂R/∂y•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))-∂R/∂x•(∂(Z,X))/(∂(u,v))] dudv=∬_C1▒〖p•∂X/∂u du+p•∂X/∂v dv=∬_C▒Pdx〗
Observación. El teorema también es válido en regiones múltiplemente conexas si se mantienen las demás hipótesis.
Ejemplos.
1) Calcular donde F(x, y, z) = (〖-y〗^2, x, z^2) y C es la curva intersección de
y + z = 2, x^2+y^2= 1, orientada de modo que gire en sentido anti horario al verse desde la parte positiva del eje Z.
Respuesta: π.
2) Calcular , donde F(x, y, z) = (yz, xz, xy) y S es la parte de la esfera
x^2 +y^2+z^2= 4 dentro del cilindro x^2 +y^2= 1 y encima del plano XY.
Respuesta: 0.
3) Calcular , donde
F(x, y, z)=(cos(x^2 z^3 ) - y,(z - 1) sen(cos(sen x^2)),sen(y^2 z^3 e^(-cos^2 x)))
Y C es la curva parametrizada por σ(t) = (cos t, sen t, 1), 0 ≤ t ≤ 2π).
Sugerencia. La curva es paralela al plano XY, de modo que sólo es necesario calcular la componente en k ⃗ del rotacional de F.
Respuesta: π.
4) calcular , donde F(x, y, z) =
y S= {(x, y, z) ∈ R^3 : 〖(x+z)〗^2 + 〖3y〗^2 + 〖2(x-z)〗^2= 1, z < 0}.
Sugerencia. Observar que S es la parte de un elipsoide que está por debajo del plano XY. Su frontera se obtiene haciendo z = 0. Puede incluso aplicarse el teorema de Green.
Respuesta: π
Interpretación física del rotacional. El teorema de Stokes permite dar una interpretación del rotacional de un campo vectorial en términos de la circulación de un fluido
A lo largo de una curva.
Supongamos que (P) representa la velocidad de un fluido en un punto P de una
Curva cerrada C. Sabemos que es igual a la integral de la componente tangencial de a lo largo de C; por tanto su valor será mayor cuanto menor sea el ángulo entre y Esto significa que la integral de línea mide la cantidad neta del fluido que gira alrededor de C en dirección contraria a las agujas del reloj, por lo que también se conoce como circulación de alrededor de C.
Consideremos ahora un punto P_O de C S_φ y un pequeño disco de centro P_O y radio φ Orientado. Si el vector unitario normal a S_φ entonces:
,
Donde 〖δS〗_φ es la curva de frontera de S_φ orientada positivamente. Si llamamos A (S_φ) al área del disco S_φ, entonces
lim┬φ0〖1/A(〗 S_φ)∫_(∂S_φ)▒〖 =〗
(Donde hemos aplicado el teorema del valor medio para las integrales).
Esta igualdad muestra la relación entre el rotacional y la circulación. En concreto, el
Producto escalar (P) mide la circulación del fluido por unidad de área, es decir .Mide la rotación del fluido alrededor de la curva. El efecto de rotación es máximo cuando el rotacional lleva la dirección del
CAPITULO V. EJERCICIOS DESARROLLADOS DEL TEOREMA DE GREEN Y STOKES
TEOREMA DE GREEN.
EJERCICOS
Calcular , donde σ es la frontera del cuadrado [−1, 1] × [−1, 1] orientada en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Solución
Por el teorema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces
Como P(x, y) = y, Q(x, y) = −x, resulta en este caso,
Usar el teorema de Green para calcular (y2 + x3) dx+ x4 dy, donde σ es el perímetro de [0, 1] × [0, 1] en sentido positivo.
Solución
Como P (x, y) = y2 + x3, Q(x, y) = x4, Entonces De este modo, si D es el interior del cuadrado [0, 1] × [0, 1], por el teorema de Green,
Sea F = (2x3 – y3, x3 + y3).
Calcular , donde σ es la circunferencia unidad recorrida en sentido anti horario.
Verificar el teorema de Green cuando σ es la frontera de la región anular descrita por a ≤ x2 + y2 ≤ b orientada en sentido positivo.
Solución
Si llamamos P(x, y) = 2x3 −y3, Q(x, y) = x3 +y3, entonces . Por el teorema de Green, , donde D es el círculo x2 + y2 ≤ 1. Mediante un cambio a coordenadas polares, la integral queda de la forma
Si aplicamos el teorema de Green, la situación es analogía a la del apartado (a), donde ahora la región D es la corona circular a ≤ x2+ y2 ≤ b.
El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a
Si queremos resolver la integral de forma directa, debemos descomponer la trayectoria en dos curvas: C1 es la circunferencia exterior x2 + y2 = b2 recorrida en sentido antihorario, y C2 la circunferencia interior x2 + y2 = a2 recorrida en sentido horario. Si parametrizamos ambas curvas como:
resulta,
Si C es una curva cerrada que limita una región D a la que se puede aplicar el teorema de Green, probar que
Solución
Por definición, . Si elegimos P(x, y) = 0, Q(x, y) = x, entonces y, por el teorema de Green,
Por otra parte, la elección P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0, también conduce a la igualdad
y, aplicando nuevamente el teorema de Green, resulta que
Observación. Sumando los dos resultados obtenidos, llegamos también a la fórmula conocida
Calcular el área de la elipse
Solución
Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, podemos aplicar la fórmula Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por las ecuaciones
De este modo,
Bajo las condiciones del teorema de Green, probar
Solución
Teniendo en cuenta que
al aplicar el teorema de Green, resulta:
A partir de las fórmulas
basta aplicar el teorema de Green y obtener el resultado propuesto.
Sea f una función armónica, es decir,
Probar que donde D es una región a la que se aplica el teorema de Green.
Solución
Si llamamos y , entonces y . De este modo, al aplicar el teorema de Green, obtenemos:
Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.
SOLUCIÓN:
La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:
Por lo tanto:
Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.
Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial
r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 t 2
SOLUCIÓN:
De la parametrización de la curva tenemos:
x = cos3t x2/3 = cos2t
y = sen3t y2/3 = sen2t
Sumando miembro a miembro tenemos:
Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:
El área de una región D viene dada por . Por lo tanto, para aplicar Green deberíamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos:
x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt
y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt
Luego:
De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva.
Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado
F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)
Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1
Calcular , donde D es la región encerrada por la curva del punto a).
Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.
Solución:
Parametricemos el círculo.
Integrando tendremos, así:
Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:
Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.
Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.
SOLUCIÓN:
Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que:
Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea.
Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:
Aplicando Green con esta función tenemos:
Parametrizando estas curvas tenemos
Reemplazando con esto en (1) tendremos:
Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.
TEOREMA DE STOKES
Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de línea
donde C es la curva intersección de la superficie del cubo
y el plano x + y + z = 3a/2, recorrida en sentido positivo.
Solución
La curva dada tiene la forma del hexágono de la figura adjunta.
Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo
vectorial:
Si llamamos S a la superficie interior de dicho hexágono y D a la proyección de S sobre el plano XY , la superficie S viene parametrizada por la fórmula explicita , con (x, y) D. De este modo, el vector normal exterior a la superficie es
Al aplicar el teorema de Stokes, resulta:
Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.
SOLUCIÓN
Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso UNA circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:
Con esta PARAMETRIZACIÓN tenemos:
F() = 9sen i + 0j 18cos k
r´() = 3sen i + 3cos j + 0k
r´() = 27sen2
Cálculo como INTEGRAL de superficie: Primero evaluamos el rotacional.
Ahora PARAMETRIZAMOS la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:
El producto VECTORIAL fundamental será:
Vemos que la COMPONENTE z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.
Usando entonces ESTA parametrización, tenemos:
Llegamos al mismo VALOR que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.
Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1), orientado hacia afuera.
SOLUCIÓN
La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura. Se requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo. Observemos que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C. (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia el exterior del cubo.) El teorema de Stokes nos asegura que:
,
lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de línea.
Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos S’. Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:
con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. Parametrizando esta última tenemos, pues:
T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)) = (x; y; -1), -1 x 1, -1 y 1
y su producto vectorial fundamental es:
Notemos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha. Por otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por:
Por lo tanto la integral que buscamos será:
En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del problema particular.
Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F(x;y;z) = (tan-1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0.
SOLUCIÓN:
La CIRCULACIÓN de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará.
PRIMA facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable.
En efeCto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante.
Por el TEOREMA de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:
Y hallando el PRODUCTO vectorial fundamental:
Vemos que esta NORMAL tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular ahora:
Hallar el trabajo realizado por el campo vectorial a lo largo del arco más corto de la circunferencia mayor de la esfera que une los puntos A = (3, 4, 0) y B = (0, 0, 5).
Solución
La trayectoria descrita por el móvil es la ilustrada en la figura adjunta.
Dicha curva está contenida en la intersección de la esfera con el plano y = 4x/3. Si escribimos las ecuaciones de la curva como
o bien
podemos parametrizarla como
Así pues, el trabajo realizado se calcula mediante la fórmula
Si queremos calcular la integral aplicando el teorema de Stokes, la trayectoria debe ser cerrada. Esto se consigue completando el circuito con los segmentos de recta BO y OA. De este modo, si llamamos S a la superficie limitada por dicho circuito, el teorema de Stokes
afirma que
Por un lado,
Una parametrizacíon de la superficie S se obtiene escribiendo las coordenadas esféricas de
un punto de la superficie y teniendo en cuenta que los puntos de S están en el plano 4x = 3y.
De este modo,
El vector normal a la superficie es
Elegimos como vector normal el correspondiente a la cara exterior de la superficie, con respecto al sentido del recorrido de la curva C, es decir n = (4u/5,−3u/5, 0). Así pues,
Por otra parte, el segmento tiene como vector de posición = (0, 0, 5 − t), con . Entonces,
Por ´último, el segmento se parametriza por r(t) = (t, 4t/3, 0), con . De este modo,
En definitiva, de la igualdad
deducimos (como era de esperar) que
Consideramos el campo en R2
X=(x^2+7y) ∂y/∂x+(-x+y sin〖y^2 〗)∂y/∂y
Calcular la circulación de X sobre la frontera del triángulo de vértices (0,2) ;(0,0) y (0,1)
Solución:
Primer método
La circulación a lo largo de la frontera del triángulo de vértices es la suma de las circulaciones en cada uno de los lados.
C(X,∂T)=∫_α1▒〖〈X,T_1 〉dl+〗 ∫_α2▒〖〈X,T_2 〉dl+〗 ∫_α3▒〈X,T_3 〉dl
Parametrizamos cada uno de los lados del triángulo y calculamos el vector tangente:
y=0 ; α_1 (t)=(t,0) t ∈ [0,1] ;α_(1 )'(t)=(1,0)
y=2(1-x) ; α_2 (t)=(-t,2(1+t)) t ∈ [-1,0] ;α_(2 )'(t)=(-1,2)
x=0 ; α_3 (t)=(0,-t) t ∈ [-2,0] ;α_(3 )'(t)=(0,-1)
C(X,∂T)=∫_0^1▒〖〈X,α1'〉dt+〗 ∫_(-1)^0▒〖〈X,α2'〉dt+〗 ∫_(-2)^0▒〖〈X,α3^' 〉dt=〗
∫_0^1▒〖t^2 dt+〗 ∫_(-1)^0▒〖-t^2-14(t+1)+2t+4(1+t)sin〖〖2(1+t)〗^2 〗 dt+〗 ∫_(-2)^0▒〖t sin〖t^2 〗 dt〗
t^3/3 _0^1+ (-t^3/3-14t-7t^2+t^2-2 cos〖〖(2(1+t))〗^2 〗 ) _(-1)^0-cos〖t^2 〗/2 _0^2=-8
Segundo método
Calculamos la circulación aplicando el teorema de Green
C(X,∂T)=∫_∂T▒〖(x^2+7y)dx+〗(-x+y sin〖y^2)dy=〗 ∫_T▒〖-8dxdy=-8〗
Sea X el campo de fuerzas definido en R2 por
X=(2x+y cos〖(xy))∂/∂x+x cos〖(xy)∂/∂y〗 〗
Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en R2
Solución:
Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el campo sobre cualquier curva cerrada será nulo. Por tanto supongamos que existe f: R2 R diferenciable tal que X=∇f . Entonces, se debe satisfacer
∂/∂x=2x+y cos(xy)
∂/∂y=x cos(xy)
Integrando la primera ecuación respecto de x obtenemos,
f(x,y)=x^2+sin〖(xy)+φ(y)〗
Si derivamos f respecto de y y comparamos con la segunda ecuación de (1,1) obtenemos que 〖φ ' (y)=0 〗y por tanto φ (y)=A=cte.
Finalmente, la función f(x,y)=x^2+sin〖(xy)+A〗 verifica que X=∇f
CONCLUCIONES
En el teorema de Green relaciona la integral doble sobre la región D , con la integral de línea sobre la frontera de la región D .
El sentido positivo de cada camino es el antihorario. El sentido antihorario u horario de cada camino está definido por su parametrizacion.
El teorema de Stokes relaciona una superficie S de R3 con su borde ∂s (que es una curva cerrada) . esta relación se de mediante una integral doble de rot F sobre la superficie S y una integral de línea sobre el borde cerrado de la superficie S .
RECOMENDACIONES
Las funciones M_((X,Y) ) Y 〖 N〗_((X,Y))deben ser continuas en la región D encerrada por un numero finito de caminos regulares.
Cada camino debe ser parametrizado siguiendo un sentido tal que la región D este a la izquierda.
En el teorema de Stokes debe ser γ un camino en R2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva.
BIBLIOGRAFIA
Cálculo: conceptos y contextos – autor: James Stewart
Calculus, Volumen 2 – autor: Tom M. Apostol
Matemáticas II: resúmenes teóricos y prácticos – autores: Félix Martínez de la Rosa y María José Garrido Atienza
Cálculo: varias variables – autor: George Brinton Thomas
Análisis matemático IV – autor: Moisés Lázaro
Wikipedia.com
ANEXOS
SIR GEORGE GABRIEL STOKES
GEORGE GREEN
Dedicatoria:
Este trabajo lo dedicamos a nuestros padres que nos brindan apoyo incondicional y a nuestro profesor quien nos proporciona y nos da su ejemplo profesional nos ayuda a nuestro desarrollo como futuros ingenieros.
INDICE
INTRODUCCION 4
OBJETIVOS 5
NOCIONES PREVIAS 6
CAPITULOS 7
Capitulo I. George Green 8
Capitulo II. Teorema de Green 11
Capitulo III.Sir George Gabriel Stokes 25
Capitulo IV. Teorema de Stokes 32
Capitulo V. Ejercicios resueltos del teorema de
Green y el teorema de Stokes 39
CONCLUSIONES 68
RECOMENDACIONES 69
BIBLIOGRAFIA 70
ANEXOS 71
INTRODUCCION
En este trabajo daremos a conocer el teorema de Stokes que en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson.
Como seguramente se estará sospechando, ahora la pregunta es: ¿el Teorema de Green se puede “extender” al cálculo de integrales sobre conjuntos dos-dimensionales no necesariamente planos, es decir, superficie? La respuesta es que sí y eso es justo de lo que trata el Teorema de Stokes.
Para el Teorema de Stokes, es mejor deducirlo a partir de la interpretación física y geométrica de los conceptos que involucra, que en este caso son el de integral de superficie y el del rotacional de un campo. Como en el caso de los teoremas que hemos mencionado, el Teorema de Stokes trata de cómo calcular la integral sobre una superficie S de un cierto tipo de “derivada” de una función F de 〖 R〗^3 en R , el rotacional de F (RotF), es decir, trata de : ∫s RotF dσ
También veremos el teorema de Green (1793-1814) que es un caso particular del teorema de Stokes en el cual establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada C y una integral doble sobre una región plana D, acotada por C.
Por otro parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.
OBJETIVO
OBJETIVO GENERAL
Estudiar con profundidad, analizar e interpretar el teorema de Green y Stokes.
OBJETIVOS ESPECÌFICOS
Demostrar el teorema de Green y el teorema de Stokes.
Conocer más sobre los autores de estos teoremas a través de su biografía.
Resolver ejercicios donde se apliquen estos teoremas.
NOCIONES PREVIAS
CURVA CERRADA Y SIMPLE
Sea C una curva suave definida por una función vectorial: [a, b] ,
Se dice que es cerrada si: (a)= (b)
Si además es uno a uno en [a, b), C es
R 2,),cerrada y simple.
UNA CURVA CERRADA QUE NO ES SIMPLE
C es cerrada si: (a)= (b)
No es uno a uno en [a, b), C se corta
asi misma, C no es simple.
UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA
POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)
UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA
NEGATIVA (Sentido Horario)
CAPITULOS
CAPITULO I. GEORGE GREEN
George Green (14 de julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un científico autodidacta. Vivió la mayor parte de su vida en Sneinton, Nottinghamshire, actualmente parte de la ciudad de Nottingham. Su padre, también llamado George, era un panadero que poseía un molino de viento para preparar la harina. El joven George Green solo asistió de forma regular a la escuela durante un año entre los 8 y 9 años ayudando a su padre posteriormente.
Al ser Nottingham un pueblo pobre en recursos intelectuales, no se ha podido dilucidar por parte de los historiadores de donde obtenía Green la información necesaria para su desarrollo en matemáticas. Solo se conoce una persona que haya vivido en Nottingham durante esa época, con los suficientes conocimientos matemáticos: John Toplis. Cuando Green publicó su ensayo en 1828, fue vendido como una suscripción a 51 personas, la mayoría de las cuales eran probablemente amigos y sin ninguna idea de sobre matemáticas.
El acaudalado terrateniente y matemático Edward Bromhead compró una copia y animó a Green a ir más lejos en su trabajo matemático. Sin embargo, Green no confió en su mentor y no volvió a contactar con él durante dos años.
Luego de esos dos años, Bromhead realizó las gestiones para que Green ingresara a la Universidad de Cambridge. Green ingresó como estudiante a la edad de 40 años. Su carrera académica fue excelente, y tras de su graduación en 1837 permaneció en la facultad, en la Escuela Gonville y Caius. Escribió sobre óptica, acústica e
hidrodinámica, y a pesar que sus escritos posteriores no tuvieron la relevancia de su Ensayo, de igual manera fueron muy reputados. Los trabajos de Green sobre el movimiento de las olas en un canal anticipa la aproximación WKB de mecánica cuántica, mientras que su investigación sobre ondas lumínicas y de las propiedades del Éter producían lo que hoy es conocido como las Medidas de deformación de rotación independiente.
George Green fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. También aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema de Green.
En 1839 fue electo miembro de la junta directiva de la escuela; de todas maneras, disfrutaría los privilegios del cargo por un corto tiempo: en 1840 cae enfermo y regresa a Nottingham, donde muere un año después.
El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad matemática durante su vida. En 1846, su trabajo fue redescubierto por un joven William Thomson, quien lo hizo popular entre los futuros matemáticos de la época.
En la actualidad, la Biblioteca George Green de la Universidad de Nottingham alberga gran parte de la colección de ciencias e ingeniería de la universidad. En 1986, el molino de los Green fue restaurado. Ahora funciona como museo y centro científico.
En una visita a Nottingham en 1930, Albert Einstein comentó que Green estuvo 20 años adelantado a su época. El físico teórico Julian Schwinger, quién usó parte de la obra de Green en su trabajo sobre investigación de avanzada, publicó un tributo titulado "The Greening of Quantum Field Theory: George and I".
CAPITULO II. TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior ´esta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este capítulo ilustrarán las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3en los siguientes capítulos.
Antes de enunciar el teorema de Green convendría precisar qué entendemos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que ´estas son invariantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra orientación? ¿Qué hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva.
Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2, parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por
N(t)=1/√(x^' 〖(t)〗^2+y'〖(t)〗^2 ) 〖(x〗^' 〖(t)〗^ ,-y'〖(t))〗^
Nótese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) =〖(x〗^' 〖(t)〗^ ,y'〖(t))〗^ Consideremos estos vectores sumergidos en R3(con coordenada z = 0). Diremos que C está orientada positivamente si el producto vectorial N × V (que tiene la dirección del eje z en este caso) tiene coordenada z positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definición corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientación positiva entonces N apunta hacia afuera de la región interior a C, y que dicha región interior queda siempre a mano izquierda según se va recorriendo C.
Otra posibilidad para definir la orientación de una curva cerrada simple seria utilizar el número de giros (the winding number);Diremos que una curva cerrada simple C ⊂ R2es regular a trozos si se puede parametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como concatenación γ1 ∗ ... ∗ γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R2cada uno de los cuales es de clase C1y satisface que γ’j(t)≠ 0 para todo t ∈ [aj, bj] (en particular, γ podría dejar de ser diferenciable en una cantidad finita de puntos, pero incluso en estos tendría derivadas laterales). Para esta clase de curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema de Green.
TEOREMA DE GREEN
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R2, y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F=(P,Q):D ⟶ R^2 un campo vectorial de clase C1 . Entonces se tiene que.
COLOLARIO.
Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, y sea D la region interior aC. Entonces su área es
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE GREEN
Tenemos que probar la siguiente igualdad
……………(*)
A tal fin, observemos que la validez de (∗) para todos los campos F = (P, Q) de clase C1sobre D equivale a la de las dos fórmulas siguientes
También para todos los campos F= (P, Q) de clase C1en D. En efecto, si estas fórmulas son válidas, obtenemos (∗) sin más que sumarlas. Recíprocamente, si (∗) es cierta podemos obtener 11.1 tomando Q= 0 en (∗), y análogamente 11.2, tomando P = 0 en (∗).
Paso 1.
La primera parte de la demostración del teorema de Green consiste
en probar 11.1 para una clase especial de recinto D, que denominaremos recinto de tipo I; un tal recinto seria el limitado por las gráficas de dos funciones y = f (x), y = g(x), con f ≤ g. Es decir, supondremos en primer lugar que D = {(x, y) ∈ R2: a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}, donde f y g son funciones reales de clase C1a trozos. Este recinto D está limitado por una curva cerrada simple C=∂D regular a trozos que puede expresarse como concatenación de cuatro caminos regulares a trozos:
C = C1 + C2 − C3 − C4,
(Como es costumbre, los signos negativos que preceden a un camino denotan que se recorre el camino en sentido opuesto al especificado); aquí,C1 está parametrizado por γ1(t) = (t, f (t)),a≤ t ≤ b;C2 lo está por γ2(t) = (b, t), con f(b)≤t≤ g(b); C3 es γ 3(t) = (t, g(t)),a≤ t ≤b; y C4 viene dado por γ4(t) = (a, t),f (a) ≤ t ≤ g(a). Nótese que, a lo largo de C2y de C4, x = x(t) es constante, luego dx = 0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de línea se anularían, mientras que sobre los restantes caminos es dx = 1. Entonces se tiene que
y por otra parte, aplicando el teorema de Fubini y el teorema fundamental del cálculo
Combinando las igualdades anteriores obtenemos 11.1
Paso 2.
Ahora probaremos 11.2 para otra clase especial de recinto D, que denominaremos recinto de tipo II, el limitado por las gráficas de dos funciones x = ϕ(y), x = ψ(y), con ϕ ≤ ψ. Es decir, ahora tenemos que
D = {(x, y) ∈ R2: c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)},
con ϕ, ψ funciones reales de clase C1a trozos. Como antes, D esta limitado por una curva cerrada simple C = ∂D regular a trozos que puede expresarse como concatenación de cuatro caminos regulares a trozos:
C = −C1 + C2 + C3 − C4,
donde C1est´a parametrizado por γ1(t) = (ϕ(t), t), c ≤ t ≤ d; C2es γ2(t) =(t, c), con ϕ(c)≤t≤ψ(c);C3 es γ3(t) = (ψ(t), t),c≤t≤d; y C4 es γ4(t) = (t, d), con ϕ(d) ≤ t ≤ ψ(d). A lo largo de C2 y de C4, y =y(t) es constante, luego dy=0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de línea son cero; para C1y C3se tiene dy = 1. Entonces
Y por otro lado,
Luego, juntando estas igualdades, obtenemos 11.2
Paso 3.
De acuerdo con la observación que hemos hecho antes y con lo probado en los pasos 1 y 2, la fórmula de Green (∗) es válida para toda región D que sea a la vez de tipo I y de tipo II. Todos los círculos, los rectángulos y los triángulos constituyen ejemplos de regiones que son de tipo I y II simultáneamente. Por tanto, el teorema de Green es válido para todos estos tipos de curvas. También podría probarse, utilizando el teorema del cambio de variables, que la igualdad (∗) es cierta para cualquier región D que sea difeomorfa con un circulo, un rectángulo o un triángulo (ejercicio11.12).
Paso 4.
El siguiente paso consiste en establecer la validez de (∗) para toda región D que pueda descomponerse como unión finita de regiones simultáneamente de tipo I y II. Más precisamente, se prueba (∗) para todo recinto D ⊂ R2de la forma
donde todos los Di son regiones de tipo I y II simultáneamente, con interiores disjuntos dos a dos, y cuyos bordes, Ci= ∂Di, están positivamente orientados, y de forma que se cumplen: si una curva Ci tiene una parte en común con otro camino Cj entonces esa parte no es común a ningún otro Ck con k6= i, j; si Ci tiene un trozo en común con Cj entonces Ci recorre ese trozo común en sentido contrario al que lo hace Cj ; y si Ci tiene un trozo en común con C= ∂D entonces ambos caminos recorren dicho trozo en el mismo sentido.
Podemos aplicar la fórmula (∗) a cada región Di y sumar todas las igualdades correspondientes para obtener que
Pero en esta suma de integrales de línea, las integrales sobre Ci=∂Di
pueden descomponerse a su vez en sumas finitas de integrales sobre curvas simples de dos tipos: o bien son trozos del camino Ci comunes a algún otro de los Cj, o bien son partes de C = ∂D. La suma total de todas las integrales sobre caminos del primero de estos tipos es igual a cero ya que, al integrar y sumar, cada una de estas curvas se recorre exactamente dos veces, y con orientaciones opuestas, de modo que la suma de las dos integrales que se hacen sobre cada camino del primer tipo es cero. Por otro lado, la suma de todas las integrales sobre los caminos del segundo tipo es igual a la integral del campo (P, Q) sobre C, ya que C puede expresarse como concatenación
de todos los caminos del segundo tipo. Por consiguiente,
∑_(i=1)^n▒∫_∂Di▒〖Pdx+Qdy=∫_∂D▒〖Pdx+Qdy〗〗
lo que combinado con las igualdades anteriores nos permite concluir que
∫_∂D▒〖Pdx+Qdy=∫_∂D▒(∂Q/∂x- ∂P/∂y)dxdy〗
para todo recinto que pueda romperse en una cantidad finita de recintos de tipo I y II simultáneamente. En particular se obtiene que (∗) es válida para toda curva cerrada simple E que sea poligonal (a saber, concatenación finita de segmentos de recta), ya que una tal curva siempre puede triangularse, es decir expresarse como una unión finita.
E= ⋃_(i=1)^n▒〖Τi 〗
donde los Ti son triángulos (y por tanto regiones de tipo I y II simultáneamente) orientados de modo que si Ti y Tj tienen un lado común entonces Ti recorre este lado en sentido contrario a como lo hace Tj (hágase aquí otro dibujo).
Paso 5.
La ultima parte de la prueba del teorema de Green consiste en aproximar la curva dada C por una curva cerrada simple poligonal P de modo que la región D interior a P queda dentro del dominio del campo F=(P,Q) y cuyo área, α(D). Se aplica entonces el teorema de Green establecido en el paso anterior para curvas cerradas simples poligonales y concluye que (*) es aproximadamente válida para D, más o menos un cierto error ε que a continuación haremos tender a cero, obteniendo así (*) en toda su generalidad el enunciado del teorema 11.1. Esta última parte de la demostración, que detallamos a continuación, es bastante pesada técnicamente y puede muy bien omitirse en una primera lectura.
Sea pues C una curva cerrada simple regular a trozos, y supongamos que esta parametrizada por γ:[a,b]→R^2. Fijemos ε>0. Para empezar, debe observarse a un abierto que contiene a D (seguiremos denotando esta expresión como F). Como consecuencia de esto y de la compacidad de D, existe un abierto A que contiene a D y con dist (∂A,∂D)>0 y de modo que F es Lipschitz y de clase C1 en todo A.
Definamos
M=sup{|∂Q/∂x-∂P/∂y)|┤:(x,y)∈├ A} + sup{⟦F(x,y)⟧: ┤ (x,y)∈├ A}+1
Por otra parte, al ser γ concatenación de caminos C1, es un camio Lipschitz y por tanto, eligiendo
deducimos que si a = t 0< t1< ... < tN= b es una partición de [a, b] con la propiedad de que ti − ti−1≤ δ0para todo i = 1, ..., N entonces la curva poligonal P que une los puntos γ (t0), γ(t1), ..., γ(tN−1),γ (tN) = γ(t0) (en este orden) está dentro de A. Además, como C es cerrada simple, podemos suponer (añadiendo más puntos a la partición de [a, b] si fuera necesario) que la poligonal P así obtenida es también cerrada simple y entonces la región interior a esta poligonal P también queda dentro de A. Por otra parte también tenemos que, para cualesquiera ∈ [0, 1],
Ahora bien, si σi(t) = (1 − t)γ( −1) + tγ( ), t ∈ [0, 1], es el segmento que une los puntos γ( ) y γ ( ), podemos aplicar el teorema del valor medio para integrales para encontrar si∈ [0, 1] de modo que
Y por tanto, para esta elección de si, obtenemos
Lo que, combinado con la desigualdad anterior, nos da
(1)
y esto vale para toda curva poligonal cerrada simple P que una los puntos γ (t0), γ(t1), ..., γ(tN ), siendo a = t0< t1< ... < tN= b y ti − ti−1≤ δ0 para todo i.
Por otro lado, aplicando el teorema de Darboux a la integral ∫γ P dx +Q dy, obtenemos δ1> 0, que podemos suponer menor o igual que δ0, tal que, si a = t0 < t1< ... < tN = b es partición de [a, b] y |ti − ti−1 | ≤ δ1 para todo i = 1, ..., N , entonces
Cualesquiera que sean los ci ∈ [t−1, ti]
Además, fijada una de estas particiones a = t0< t1< ... < tN= b de
[a, b], como γ = γ1 ∗ ...∗ γk es concatenación de caminos de clase C1, podemos suponer (añadiendo puntos, si fuera necesario, a dicha partición) que γ es de clase C1en cada intervalo [ti−1, ti]; en particular γ es uniformemente diferenciable en cada intervalo [ti−1, ti] (ver el problema 7.29, y téngase en cuenta que γ podría no ser derivable en los extremos del intervalo [ti−1, ti], pero en todo caso sí tiene derivadas laterales en dichos extremos, y las derivadas son continuas), luego existe δ2 > 0, que podemos suponer menor o igual que δ1, tal que si ti−1 ≤ s ≤ t ≤ ti y |t − s| ≤ δ2 entonces
Podemos entonces añadir todos los puntos necesarios a la partición de [a, b] sobre la que venimos trabajando para que la nueva partición, que seguiremos denotando a = t0< t1< ... < tN= b, satisfaga que ti− ti−1≤ δ2≤ δ1≤ δ0,y por tanto también que
(2)
A la vez que
Pero esta última desigualdad implica que
Lo que junto con (2) permite obtener
, (3)
Y que a su vez combinado con (1) nos da
(4)
para toda curva cerrada simple poligonal P que una γ(t1), γ(t2), ..., γ(tN −1), γ(tN) =γ(t0), en este orden, y siempre y cuando 0< ti− ti−1 ≤ δ2≤ δ1 para todo i = 1, ..., N .
Por otra parte, como ∂D = C tiene contenido cero, existe una colección finita Q1, ..., Qk de cubos abiertos que recubren C y cuyos volúmenes suman menos que ε/M. Definamos U=⋃_(j=1)^k▒Q_j . Como U es abierto y contiene al compacto C, tenemos que la distancia de C al complementario de U es positiva, es decir, d(C, R2\ U ) > 0. Pongamos ahora
Entonces, añadiendo puntos si fuera necesario a la partición a=t_0<t_1<⋯<t_n de [a,b] sobre la que venimos trabajando, podemos suponer que t_i-t_(i-1)≤δ_3 para todo i=1,…,N,lo cual implica que la poligonal Ƥ que une los puntos γ(t_1 ),γ(t_2 ),…,γ(t_N )=γ(t_0) queda dentro del abierto U (en efecto, para todo z del segmento [γ(t_(i-1) ),γ(t_i)] ,se tiene
d(z,C)≤Lip(γ)(t_i-t_(i-1) )≤Lip(γ)d(C,R^2\U)/2(Lip(γ)+1) <d(C,R^2\U),luego z ∈U.
Definamos también W=D∪U y V=D\U , que son conjuntos con área que cumplen que
a(D)-ε/M≤a(D)-a(U)≤a(V)≤a(D)≤a(W)≤a(D)+a(U)≤a(D)+ε/M.
Sea entonces D la región interior a la poligonal simple cerrada simple P que une los puntos γ(t_1 ),γ(t_2 ),…,γ(t_N )=γ(t_0) en ese orden. Como P⊂U, es claro que
V⊂D⊂W,
Y entonces
a(D)-ε/M≤a(V)≤a(D)≤a(W)≤a(D)+ε/M.
Por consiguiente,
|∫_D▒〖(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy-∫_D▒(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy〗|≤∫_(R^2)▒|∂Q/∂x-∂P/∂y| |1_D- 1_D |dxdy≤∫_(R^2)▒█(M|1_D- 1_D |dxdy≤M(a(D/D)+a(D/D))≤M(ε/M+ε/M)=2ε,@ )
Es decir
|∫_D▒〖(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy-∫_D▒(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy〗|≤2ε. ……. (5)
Finalmente, combinado (4) y (5) y usando que
∫_P▒〖Pdx+Qdy=∫_D▒(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy〗
CAPITULO III. SIR GEORGE GABRIEL STOKES
George Stokes Primer Baronet (13 de agosto de 1819 - 1 de febrero de 1903) fue el hijo menor del Reverendo Gabriel Stokes, rector de Skreen, en el condado de Sligo. Allí nació y creció George, en el seno de una familia protestante evangélica. Después de haber estudiado en Skreen, Dublín y Bristol, George se matriculó en 1837 en Pembroke College, en la Universidad de Cambridge, donde cuatro años más tarde, tras graduarse con los más altos honores (los de Senior Wrangler y el primer Premio Smith), fue elegido para ocupar una plaza de profesor.
George Stokes ocupa esta plaza hasta 1857, cuando se ve obligado a renunciar a ella por haber contraído matrimonio (ambas cosas eran incompatibles según los estatutos de su facultad universitaria). Sin embargo, doce años más tarde, tras haber sido modificados los estatutos, es reelegido. Ocuparía dicha plaza hasta 1902, año en el que fue promocionado a la mastership de su facultad. No obstante, no podría gozar demasiado de esta posición, pues moriría en Cambridge el 1 de febrero del año siguiente.
En 1849 le fue concedida la Cátedra Lucasiana de matemáticas de la Universidad de Cambridge. El 1 de junio de 1899 se celebró en Cambridge el jubileo de su nominación, en una ceremonia brillante a la que asistieron numerosos delegados de universidades europeas y americanas. En dicha ceremonia el rector de la universidad le dio una medalla de oro conmemorativa y bustos de mármol de Stokes creados por Hamo Thornycroft fueron dados a Pembroke College y la universidad por Lord Kelvin. Sir George Stokes, que fue nombrado baronet en 1889, también sirvió a su universidad representándola en el parlamento desde 1887 hasta 1892, como uno de los dos miembros de la Cambridge University Constituency. Durante parte de este periodo (1885-1890) fue presidente de la Royal Society, de la que había sido secretario desde 1854, y de esta manera, siendo a la vez Profesor Lucasiano, unió en sí mismo tres cargos que sólo en una ocasión habían estado en manos de un solo individuo, Sir Isaac Newton, quien, no obstante, no ocupó las tres simultáneamente.
Stokes fue el mayor del trio de filósofos naturales, los otros dos fueron James Clerk Maxwelly Lord Kelvin, que contribuyeron especialmente a la fama de la escuela de Cambridge de física matemática a mediados del siglo XIX. El trabajo original de Stokes empezó sobre 1840, y desde esa fecha en adelante la gran cantidad de trabajo que produjo fue solamente superada por la brillantez y enorme calidad del mismo. El catálogo de artículos científicos de la Royal Society muestra los títulos de más de cien contribuciones hechas por él hasta 1883. Algunas de éstas son sólo notas breves, pero la mayoría son tratados largos y elaborados.
CONTRIBUCIONES A LA CIENCIA:
El trabajo de Stokes se distingue por su precisión y su sentido de la finalidad. Incluso en problemas que en su tiempo no se consideraban susceptibles de análisis matemático, Stokes fue capaz en muchos casos de aportar soluciones que dejaron sentadas las bases para el progreso posterior. Este hecho se explica por su extraordinaria combinación de capacidad matemática y habilidad experimental. Desde el momento en que, sobre 1840, puso a punto sus primeros aparatos físicos simples en Pembroke College, matemáticas y experimento siempre fueron de la mano, ayudándose y controlándose mutuamente. Su trabajo abarcó un amplio abanico de cuestiones físicas, pero, comoMarie Alfred Cornu remarcó en su conferencia [Rede]] de 1899, la mayor parte del mismo versó sobre ondas y las transformaciones sufridas por éstas al pasar a través de varios medios.
Sus primeros artículos publicados, que aparecieron en 1842 y 1843, trataban del movimiento uniforme de fluidos incompresibles y algunos casos de movimiento fluido. A éstos les siguió uno en 1845 sobre la fricción de fluidos en movimiento y el equilibrio y movimiento de sólidos elásticos y en 1850 otro sobre los efectos de la fricción interna de los fluidos sobre el movimiento de los péndulos. También realizó varias contribuciones a la teoría del sonido, incluyendo una discusión del efecto del viento sobre la intensidad del sonido y una explicación de cómo la intensidad es influenciada por la naturaleza del gas en cuyo seno se produce el sonido. Estas investigaciones sentaron las bases de la ciencia de la hidrodinámica y proporcionaron claves no sólo para la explicación de muchos fenómenos naturales, tales como la suspensión de las nubes en el aire o el hundimiento de las olas en el agua, sino también para la solución de problemas prácticos, como el flujo de agua en ríos y canales o la resistencia al movimiento de los barcos.
Su labor en relación al movimiento de los fluidos y la viscosidad le llevó a calcular la velocidad terminal de una esfera que cae en un medio viscoso, lo cual pasó a conocerse como la ley de Stokes. Más adelante la unidad CGS de viscosidad pasaría a llamarse el Stokes, en honor a su trabajo.
Quizá sus investigaciones mejor conocidas son las referentes a la teoría ondulatoria de la luz. Sus trabajos sobre óptica empezaron pronto en su carrera científica. Los primeros artículos sobre aberración de la luz aparecieron en 1845 y 1846 fueron continuados en 1848 por uno sobre la teoría de ciertas bandas del espectro electromagnético. En 1849 publicó un largo trabajo sobre la teoría dinámica de la difracción, en el cual mostraba que el plano de polarización debe ser perpendicular a la dirección de propagación. Dos años después trató de los colores de placas gruesas.
En 1852, en su famoso trabajo sobre el cambio en la longitud de onda de la luz, describió el fenómeno de la fluorescencia, tal y como la mostraban la fluorita y el cristal de uranio, materiales que él vio como capaces de convertir lo invisible radiación ultravioleta en radiaciones de mayor longitud de onda, visibles. El desplazamiento de Stokes, que describe dicha conversión, es llamado en su honor. A continuación, un modelo mecánico que ilustraba el principio dinámico de la explicación de Stokes fue propuesto y de éste surgió el concepto de línea de Stokes, que a su vez es la base de la dispersión Raman. En 1883, durante una conferencia en la Royal Institution, Lord Kelvin dijo que Stokes le había contado este fenómeno muchos años atrás y que él le había insistido, en vano, para que lo publicara.
Ese mismo año, 1852, apareció el artículo sobre la composición y resolución de corrientes de luz polarizada de distintas fuentes, y en 1853una investigación de la reflexión metálica exhibida por ciertas sustancias no-metálicas. Hacia 1860 se metió en un estudio sobre la intensidad de la luz reflejada o transmitida a través de una pila de placas; y en 1862 preparó un valioso informe para la Asociación británica para el avance de la ciencia (BAAS) sobre la doble refracción. De la misma fecha es un artículo sobre el largo espectro de la luz eléctrica, que a su vez fue seguido por un análisis del espectro de absorción de la sangre.
La identificación de compuestos orgánicos mediante sus propiedades ópticas fue tratada en 1864; y más tarde, junto con el ReverendoWilliam Vernon Harcourt, investigó la relación entre la composición química y las propiedades ópticas de varios cristales, con referencia a las condiciones de transparencia y la mejora de los telescopios acromáticos. Otro trabajo posterior también conectado con la construcción de instrumentos ópticos discutía los límites teóricos de la apertura de los objetivos de los microscopios.
En otros campos de la física cabe mencionar sus trabajos sobre la conductividad térmica en cristales (1851) y sobre el radiómetro de Crookes; su explicación del borde claro a menudo observado en las fotografías justo por fuera del perfil de un cuerpo oscuro visto con el cielo de fondo (1883); y, más tarde aún, su teoría de los rayos X, de los que sugirió que podían ser ondas transversales viajando como incontables ondas solitarias, en lugar de como trenes de ondas regulares. Dos largos artículos publicados en 1840, uno sobre atracciones y el teorema de Clairaut, y el otro sobre variaciones en la gravedad de la superficie terrestre, también merecen ser mencionados, así como sus trabajos matemáticos sobre valores críticos de sumas de series periódicas (1847), cálculos numéricos de una clase de integrales definidas y series infinitas (1850) y su discusión de una ecuación diferencial relativa a la ruptura de puentes de ferrocarril (1849).
Además de sus abundantes trabajos publicados, Stokes realizó múltiples descubrimientos que jamás llegaron a publicarse, o como mucho fueron comentados brevemente en alguna de sus conferencias orales. Un ejemplo excelente lo constituye su trabajo sobre la teoría de la espectroscopia. En su conferencia presidencial a la BAAS en 1871, Lord Kelvin afirmó su creencia de que la aplicación del análisis prismático de la luz a la química solar y estelar no había sido planteada directa o indirectamente por nadie cuando Stokes se la enseñó a él en Cambridge antes del verano de 1852. Estas afirmaciones hacen suponer que Stokes se anticipó a Gustav Robert Kirchhoff como mínimo siete años en la enunciación de las bases físicas sobre las que descansa la espectroscopia y la identificación de sustancias en el sol y las estrellas. Stokes, sin embargo, en una carta publicada unos años después de la conferencia de Lord Kelvin, dijo que él no había sido capaz de efectuar un paso esencial en su razonamiento (no se había percatado de que la emisión de luz de longitud de onda definida no sólo permitía, sino que requería, absorción de luz de la misma longitud de onda). Modestamente, Stokes negó haber tomado "parte alguna en el admirable descubrimiento de Kirchhoff", añadiendo que algunos de sus amigos lo habían defendido excesivamente. No obstante, debe decirse que los científicos británicos no están del todo convencidos de esta negación y todavía atribuyen a Stokes el mérito de haber sido el primero en formular las los principios fundamentales de la espectroscopia.
Todavía en otro sentido Stokes contribuyó grandemente al progreso de la física matemática. Poco después de ser elegido para la cátedra Lucasiana anunció que consideraba su deber profesional ayudar a cualquier miembro de la universidad en problemas matemáticos con que se pudiesen encontrar. La ayuda prestada fue tan real que los alumnos, incluso después de haberse convertido en sus colegas, no tenían ningún inconveniente en consultarle sobre los problemas matemáticos y físicos que les causaban dificultades. Más adelante, durante los treinta años en los que actuó como secretario de la Royal Society también ejerció una enorme, aunque no reconocida, influencia sobre el avance de las ciencias matemáticas y físicas, no sólo directamente por sus propias investigaciones, sino también indirectamente sugiriendo problemas para investigar y animando a gente para enfrentarse a ellos.
HONORES:
Además de los ya mencionados:
De la Royal Society, de la que pasó a ser miembro en 1851, recibió la Medalla Rumford en 1852 en reconocimiento a sus estudios sobre la longitud de onda de la luz y, más adelante, en 1893, la Medalla Copley.
En 1869 presidió la reunión de la BAAS en Exeter.
De 1883 a 1885 fue el conferenciante Burnett en la Universidad de Aberdeen,
En 1889 fue nombrado baronet.
En 1891 publicó sus conferencias Gifford en un volumen titulado Teología Natural.
Sus distinciones académicas incluyeron doctorados honoríficos por muchas universidades, así como ser miembro de la Orden Pour le Mérite de Prusia.
CAPITULO IV. TEOREMA DE STOKES
Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada, simple y regular a trozos. Sea C su curva frontera,
Regular a trozos, cerrada y simple, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial, de clase C^((1)) en alguna región que contiene a S, entonces
Para determinar la orientación positiva de la curva C frontera de S, convenimos en
Que, al recorrer C en sentido positivo con la cabeza apuntando al vector normal que indica la orientación positiva de S, la superficie queda a la izquierda.
El teorema de Stokes proporciona otra extensión del teorema fundamental de la integral al relacionar una integral de superficie con la integral de línea sobre la curva frontera a dicha superficie.
El resultado fue descubierto en realidad por el físico escoces William Thomson (lord Kelvin) y comunicado por carta a Georges Stokes (profesor lucasiano de Cambridge). ´Este lo propuso en un examen de matemáticas en 1854.
Observemos que el teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes, pues si es una superficie orientada hacia arriba, es decir
Entonces el teorema de Stokes nos da la formula
Que corresponde precisamente al teorema de Green.
Demostración. Veamos en primer lugar la demostración del teorema de Stokes en el caso particular de una superficie S definida por la función explıcita
z = f(x, y), (x, y) ∈ D, con f ∈ C^(2 )una región plana simple cuya frontera C1 es la proyección de la frontera de S sobre el plano XY.
Sea pues el campo vectorial F = (P, Q, R) de clase C^1 en una región que contiene a
S. Entonces.
Por otra parte, si C1 se parametriza por x = x(t), y = y(t), con t 2 [a, b], entonces C tiene
la parametrización x = x(t), y = y(t), z = f(x(t), y(t)), con t 2 [a, b]. Por tanto,
∫_C▒F=∫_a^b▒[P • x0(t)+ Q • y0(t)+ R • z0(t)]dt
=∫_a^b▒[P • x'(t) + Q • y'(t) + R •(∂f/∂x• 〖x'〗^' (t)+∂f/∂y• y'(t))]dt
=∫_C1▒〖[(P + R •∂f/∂x)dx +(Q+R•∂f/∂y)dy ]=(por el teorema de green〗)
=∬_D▒[∂/∂x (Q+R•∂f/∂y)dy-∂/∂y (P + R •∂f/∂x) ]dxdy
=∬_D▒[∂Q/∂x+∂Q/∂z•∂z/∂x+∂R/∂x•∂f/∂y+∂R/∂z•∂z/∂x•∂f/∂y+R•(∂^2 f)/∂y∂x-∂P/∂y-∂P/∂z•∂z/∂y-∂R/∂y•∂f/∂x-∂R/∂z•∂z/∂y•∂f/∂x-R•(∂^2 f)/∂x∂y]dxdy
Al simplificar la expresión del integrando, llegamos al mismo resultado que
Veamos ahora la demostración del caso general. Para ello, sea Φ: D una
parametrización de la superficie, de clase C^((1)) en un abierto que contiene a D U ∂D.
Si hacemos F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) y ᴓ (u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)), por definición de integral de línea,
∫_C▒F=∫_C▒〖P dx + Qdy + Rdz.〗
Por otra parte:
∬_S▒〖rot F〗=∬_D▒[(∂R/∂y-∂Q/∂z)•∂(Y,Z)/∂(u,v) +(∂P/∂z-∂R/∂x)•(∂(Z,X))/(∂(u,v))+(∂Q/∂x-∂P/∂y)•(∂(X,Y))/(∂(u,v))]dudv
Por tanto, basta probar que:
∫_C▒Pdx=∬_D▒[∂P/∂z•(∂(Z,X))/(∂(u,v))-∂P/∂y•(∂(X,Y))/(∂(u,v))]
∫_C▒Qdy=∬_D▒[∂Q/∂x•(∂(X,Y))/(∂(u,v))-∂Q/∂z•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))]
∫_C▒Rdz=∬_D▒[∂R/∂y•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))-∂R/∂x•(∂(Z,X))/(∂(u,v))]
Veamos la comprobación de la primera igualdad (las demás son completamente análogas). Si llamamos p(u, v) = P ◦ Φ(u, v) = P (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)), entonces se puede comprobar fácilmente que:
∬_D▒[∂R/∂y•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))-∂R/∂x•(∂(Z,X))/(∂(u,v))] dudv=∬_D▒[∂/∂u (p•∂x/∂v)-∂/∂v ( p •∂x/∂u) ]dudv
Si aplicamos ahora el teorema de Green a la última integral, obtenemos (llamamos C1 a la frontera de D en R2):
∬_D▒[∂R/∂y•(∂(Y,Z))/(∂(u,v))-∂R/∂x•(∂(Z,X))/(∂(u,v))] dudv=∬_C1▒〖p•∂X/∂u du+p•∂X/∂v dv=∬_C▒Pdx〗
Observación. El teorema también es válido en regiones múltiplemente conexas si se mantienen las demás hipótesis.
Ejemplos.
1) Calcular donde F(x, y, z) = (〖-y〗^2, x, z^2) y C es la curva intersección de
y + z = 2, x^2+y^2= 1, orientada de modo que gire en sentido anti horario al verse desde la parte positiva del eje Z.
Respuesta: π.
2) Calcular , donde F(x, y, z) = (yz, xz, xy) y S es la parte de la esfera
x^2 +y^2+z^2= 4 dentro del cilindro x^2 +y^2= 1 y encima del plano XY.
Respuesta: 0.
3) Calcular , donde
F(x, y, z)=(cos(x^2 z^3 ) - y,(z - 1) sen(cos(sen x^2)),sen(y^2 z^3 e^(-cos^2 x)))
Y C es la curva parametrizada por σ(t) = (cos t, sen t, 1), 0 ≤ t ≤ 2π).
Sugerencia. La curva es paralela al plano XY, de modo que sólo es necesario calcular la componente en k ⃗ del rotacional de F.
Respuesta: π.
4) calcular , donde F(x, y, z) =
y S= {(x, y, z) ∈ R^3 : 〖(x+z)〗^2 + 〖3y〗^2 + 〖2(x-z)〗^2= 1, z < 0}.
Sugerencia. Observar que S es la parte de un elipsoide que está por debajo del plano XY. Su frontera se obtiene haciendo z = 0. Puede incluso aplicarse el teorema de Green.
Respuesta: π
Interpretación física del rotacional. El teorema de Stokes permite dar una interpretación del rotacional de un campo vectorial en términos de la circulación de un fluido
A lo largo de una curva.
Supongamos que (P) representa la velocidad de un fluido en un punto P de una
Curva cerrada C. Sabemos que es igual a la integral de la componente tangencial de a lo largo de C; por tanto su valor será mayor cuanto menor sea el ángulo entre y Esto significa que la integral de línea mide la cantidad neta del fluido que gira alrededor de C en dirección contraria a las agujas del reloj, por lo que también se conoce como circulación de alrededor de C.
Consideremos ahora un punto P_O de C S_φ y un pequeño disco de centro P_O y radio φ Orientado. Si el vector unitario normal a S_φ entonces:
,
Donde 〖δS〗_φ es la curva de frontera de S_φ orientada positivamente. Si llamamos A (S_φ) al área del disco S_φ, entonces
lim┬φ0〖1/A(〗 S_φ)∫_(∂S_φ)▒〖 =〗
(Donde hemos aplicado el teorema del valor medio para las integrales).
Esta igualdad muestra la relación entre el rotacional y la circulación. En concreto, el
Producto escalar (P) mide la circulación del fluido por unidad de área, es decir .Mide la rotación del fluido alrededor de la curva. El efecto de rotación es máximo cuando el rotacional lleva la dirección del
CAPITULO V. EJERCICIOS DESARROLLADOS DEL TEOREMA DE GREEN Y STOKES
TEOREMA DE GREEN.
EJERCICOS
Calcular , donde σ es la frontera del cuadrado [−1, 1] × [−1, 1] orientada en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Solución
Por el teorema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces
Como P(x, y) = y, Q(x, y) = −x, resulta en este caso,
Usar el teorema de Green para calcular (y2 + x3) dx+ x4 dy, donde σ es el perímetro de [0, 1] × [0, 1] en sentido positivo.
Solución
Como P (x, y) = y2 + x3, Q(x, y) = x4, Entonces De este modo, si D es el interior del cuadrado [0, 1] × [0, 1], por el teorema de Green,
Sea F = (2x3 – y3, x3 + y3).
Calcular , donde σ es la circunferencia unidad recorrida en sentido anti horario.
Verificar el teorema de Green cuando σ es la frontera de la región anular descrita por a ≤ x2 + y2 ≤ b orientada en sentido positivo.
Solución
Si llamamos P(x, y) = 2x3 −y3, Q(x, y) = x3 +y3, entonces . Por el teorema de Green, , donde D es el círculo x2 + y2 ≤ 1. Mediante un cambio a coordenadas polares, la integral queda de la forma
Si aplicamos el teorema de Green, la situación es analogía a la del apartado (a), donde ahora la región D es la corona circular a ≤ x2+ y2 ≤ b.
El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a
Si queremos resolver la integral de forma directa, debemos descomponer la trayectoria en dos curvas: C1 es la circunferencia exterior x2 + y2 = b2 recorrida en sentido antihorario, y C2 la circunferencia interior x2 + y2 = a2 recorrida en sentido horario. Si parametrizamos ambas curvas como:
resulta,
Si C es una curva cerrada que limita una región D a la que se puede aplicar el teorema de Green, probar que
Solución
Por definición, . Si elegimos P(x, y) = 0, Q(x, y) = x, entonces y, por el teorema de Green,
Por otra parte, la elección P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0, también conduce a la igualdad
y, aplicando nuevamente el teorema de Green, resulta que
Observación. Sumando los dos resultados obtenidos, llegamos también a la fórmula conocida
Calcular el área de la elipse
Solución
Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, podemos aplicar la fórmula Para ello, parametrizamos la frontera de la elipse por las ecuaciones
De este modo,
Bajo las condiciones del teorema de Green, probar
Solución
Teniendo en cuenta que
al aplicar el teorema de Green, resulta:
A partir de las fórmulas
basta aplicar el teorema de Green y obtener el resultado propuesto.
Sea f una función armónica, es decir,
Probar que donde D es una región a la que se aplica el teorema de Green.
Solución
Si llamamos y , entonces y . De este modo, al aplicar el teorema de Green, obtenemos:
Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.
SOLUCIÓN:
La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:
Por lo tanto:
Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.
Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial
r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 t 2
SOLUCIÓN:
De la parametrización de la curva tenemos:
x = cos3t x2/3 = cos2t
y = sen3t y2/3 = sen2t
Sumando miembro a miembro tenemos:
Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:
El área de una región D viene dada por . Por lo tanto, para aplicar Green deberíamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos:
x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt
y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt
Luego:
De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva.
Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado
F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)
Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1
Calcular , donde D es la región encerrada por la curva del punto a).
Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.
Solución:
Parametricemos el círculo.
Integrando tendremos, así:
Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:
Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.
Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.
SOLUCIÓN:
Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que:
Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea.
Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:
Aplicando Green con esta función tenemos:
Parametrizando estas curvas tenemos
Reemplazando con esto en (1) tendremos:
Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.
TEOREMA DE STOKES
Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de línea
donde C es la curva intersección de la superficie del cubo
y el plano x + y + z = 3a/2, recorrida en sentido positivo.
Solución
La curva dada tiene la forma del hexágono de la figura adjunta.
Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo
vectorial:
Si llamamos S a la superficie interior de dicho hexágono y D a la proyección de S sobre el plano XY , la superficie S viene parametrizada por la fórmula explicita , con (x, y) D. De este modo, el vector normal exterior a la superficie es
Al aplicar el teorema de Stokes, resulta:
Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.
SOLUCIÓN
Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso UNA circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:
Con esta PARAMETRIZACIÓN tenemos:
F() = 9sen i + 0j 18cos k
r´() = 3sen i + 3cos j + 0k
r´() = 27sen2
Cálculo como INTEGRAL de superficie: Primero evaluamos el rotacional.
Ahora PARAMETRIZAMOS la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:
El producto VECTORIAL fundamental será:
Vemos que la COMPONENTE z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.
Usando entonces ESTA parametrización, tenemos:
Llegamos al mismo VALOR que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.
Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1), orientado hacia afuera.
SOLUCIÓN
La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura. Se requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo. Observemos que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C. (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia el exterior del cubo.) El teorema de Stokes nos asegura que:
,
lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de línea.
Sin embargo, notemos que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos S’. Puesto que el teorema de Stokes nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, tenemos que:
con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. Parametrizando esta última tenemos, pues:
T(x; y) = (x(x; y); y(x; y); z(x; y)) = (x; y; -1), -1 x 1, -1 y 1
y su producto vectorial fundamental es:
Notemos que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha. Por otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por:
Por lo tanto la integral que buscamos será:
En este problema vemos que el teorema de Stokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie de cálculo más sencillo. La selección de una u otra de estas opciones dependerá del problema particular.
Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F(x;y;z) = (tan-1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0.
SOLUCIÓN:
La CIRCULACIÓN de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará.
PRIMA facie vemos que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar asaz engorroso. Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable.
En efeCto, se simplifican enormemente los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante.
Por el TEOREMA de Stokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada. Parametrizando esta última:
Y hallando el PRODUCTO vectorial fundamental:
Vemos que esta NORMAL tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada. con esto podemos calcular ahora:
Hallar el trabajo realizado por el campo vectorial a lo largo del arco más corto de la circunferencia mayor de la esfera que une los puntos A = (3, 4, 0) y B = (0, 0, 5).
Solución
La trayectoria descrita por el móvil es la ilustrada en la figura adjunta.
Dicha curva está contenida en la intersección de la esfera con el plano y = 4x/3. Si escribimos las ecuaciones de la curva como
o bien
podemos parametrizarla como
Así pues, el trabajo realizado se calcula mediante la fórmula
Si queremos calcular la integral aplicando el teorema de Stokes, la trayectoria debe ser cerrada. Esto se consigue completando el circuito con los segmentos de recta BO y OA. De este modo, si llamamos S a la superficie limitada por dicho circuito, el teorema de Stokes
afirma que
Por un lado,
Una parametrizacíon de la superficie S se obtiene escribiendo las coordenadas esféricas de
un punto de la superficie y teniendo en cuenta que los puntos de S están en el plano 4x = 3y.
De este modo,
El vector normal a la superficie es
Elegimos como vector normal el correspondiente a la cara exterior de la superficie, con respecto al sentido del recorrido de la curva C, es decir n = (4u/5,−3u/5, 0). Así pues,
Por otra parte, el segmento tiene como vector de posición = (0, 0, 5 − t), con . Entonces,
Por ´último, el segmento se parametriza por r(t) = (t, 4t/3, 0), con . De este modo,
En definitiva, de la igualdad
deducimos (como era de esperar) que
Consideramos el campo en R2
X=(x^2+7y) ∂y/∂x+(-x+y sin〖y^2 〗)∂y/∂y
Calcular la circulación de X sobre la frontera del triángulo de vértices (0,2) ;(0,0) y (0,1)
Solución:
Primer método
La circulación a lo largo de la frontera del triángulo de vértices es la suma de las circulaciones en cada uno de los lados.
C(X,∂T)=∫_α1▒〖〈X,T_1 〉dl+〗 ∫_α2▒〖〈X,T_2 〉dl+〗 ∫_α3▒〈X,T_3 〉dl
Parametrizamos cada uno de los lados del triángulo y calculamos el vector tangente:
y=0 ; α_1 (t)=(t,0) t ∈ [0,1] ;α_(1 )'(t)=(1,0)
y=2(1-x) ; α_2 (t)=(-t,2(1+t)) t ∈ [-1,0] ;α_(2 )'(t)=(-1,2)
x=0 ; α_3 (t)=(0,-t) t ∈ [-2,0] ;α_(3 )'(t)=(0,-1)
C(X,∂T)=∫_0^1▒〖〈X,α1'〉dt+〗 ∫_(-1)^0▒〖〈X,α2'〉dt+〗 ∫_(-2)^0▒〖〈X,α3^' 〉dt=〗
∫_0^1▒〖t^2 dt+〗 ∫_(-1)^0▒〖-t^2-14(t+1)+2t+4(1+t)sin〖〖2(1+t)〗^2 〗 dt+〗 ∫_(-2)^0▒〖t sin〖t^2 〗 dt〗
t^3/3 _0^1+ (-t^3/3-14t-7t^2+t^2-2 cos〖〖(2(1+t))〗^2 〗 ) _(-1)^0-cos〖t^2 〗/2 _0^2=-8
Segundo método
Calculamos la circulación aplicando el teorema de Green
C(X,∂T)=∫_∂T▒〖(x^2+7y)dx+〗(-x+y sin〖y^2)dy=〗 ∫_T▒〖-8dxdy=-8〗
Sea X el campo de fuerzas definido en R2 por
X=(2x+y cos〖(xy))∂/∂x+x cos〖(xy)∂/∂y〗 〗
Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en R2
Solución:
Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el campo sobre cualquier curva cerrada será nulo. Por tanto supongamos que existe f: R2 R diferenciable tal que X=∇f . Entonces, se debe satisfacer
∂/∂x=2x+y cos(xy)
∂/∂y=x cos(xy)
Integrando la primera ecuación respecto de x obtenemos,
f(x,y)=x^2+sin〖(xy)+φ(y)〗
Si derivamos f respecto de y y comparamos con la segunda ecuación de (1,1) obtenemos que 〖φ ' (y)=0 〗y por tanto φ (y)=A=cte.
Finalmente, la función f(x,y)=x^2+sin〖(xy)+A〗 verifica que X=∇f
CONCLUCIONES
En el teorema de Green relaciona la integral doble sobre la región D , con la integral de línea sobre la frontera de la región D .
El sentido positivo de cada camino es el antihorario. El sentido antihorario u horario de cada camino está definido por su parametrizacion.
El teorema de Stokes relaciona una superficie S de R3 con su borde ∂s (que es una curva cerrada) . esta relación se de mediante una integral doble de rot F sobre la superficie S y una integral de línea sobre el borde cerrado de la superficie S .
RECOMENDACIONES
Las funciones M_((X,Y) ) Y 〖 N〗_((X,Y))deben ser continuas en la región D encerrada por un numero finito de caminos regulares.
Cada camino debe ser parametrizado siguiendo un sentido tal que la región D este a la izquierda.
En el teorema de Stokes debe ser γ un camino en R2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva.
BIBLIOGRAFIA
Cálculo: conceptos y contextos – autor: James Stewart
Calculus, Volumen 2 – autor: Tom M. Apostol
Matemáticas II: resúmenes teóricos y prácticos – autores: Félix Martínez de la Rosa y María José Garrido Atienza
Cálculo: varias variables – autor: George Brinton Thomas
Análisis matemático IV – autor: Moisés Lázaro
Wikipedia.com
ANEXOS
SIR GEORGE GABRIEL STOKES
GEORGE GREEN
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