Taller líneas equipotenciales

Taller líneas equipotenciales

Análisis de Fourier

Iván Aníbal Zuluaga – 20141005125

Anderson Rincón – 20141005064

Método de las series:

La ecuación de Laplace nos dice que para todo potencial:

[pic 1]

Para un conjunto de cuatro placas en un plano, con potencial de 25V en la placa superior, y cada placa con longitud de 30cm. Como el potencial está distribuido sobre X y Y, la ecuación de Laplace resulta:

[pic 2]

La solución de la ecuación diferencial es de la forma:

[pic 3]

Por lo que:

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Separando variables:

[pic 7]

[pic 8]

La solución a cada variable resulta:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Las condiciones iniciales nos indican que en todas las placas excepto en la placa superior, el potencial es de 0, pues están conectadas a tierra; mientras que la placa superior está conectada a nuestro potencial V:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Donde “a” es la longitud final de las placas.

Solucionando (1) con los valores iniciales obtenemos:

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Por lo que:

[pic 19]

Como tenemos infinitos n’s:

[pic 20]

Como:

[pic 21]

Como la serie se puede expresar como una serie de Fourier:

[pic 22]

Donde el coeficiente de Fourier es de la forma:

[pic 23]

[pic 24]

La solución de la ecuación diferencial parcial resulta:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Como:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

La superficie sobre la cual se miden los potenciales es de 30cmx30cm, para un total de 36 medidas sobre la superficie, se medirá el potencial en saltos de 6cm sobre X y sobre Y:

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

Método numérico:

[pic 70]

En la malla presentada se encuentra visualizado a partir de líneas verdes punteadas los puntos que sé tomaron en el experimento del laboratorio, en las intersecciones de estas. Las demás líneas representan los cortes que se fueron realizando hasta llegar a un aproximado de los puntos del laboratorio. Se consideró una disposición de un cuadrado de 30cm por 30cm, en los cuales se tomaron 24 valores con una separación de 6cm empezando desde las placas. Se realiza cortes a partir de puntos medios de cada recta para acercarse a los puntos tomados en laboratorio. Al realizar la solución por medio numérico y con la ayuda del software AutoCad, se observa que nunca se va a poder llegar a los puntos que se realizaron experimentalmente, por lo que se decide tomar los puntos más cercanos a estos a partir de una malla más fina. Los puntos cercanos son los valores que se encuentran en color verde. Los demás valores fueron los que se utilizaron para hallar los valores cercanos. En la tabla anexada al final se puede observar los valores obtenidos con mayor claridad.

Método experimental:[pic 71]

 [pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

...