Teorema de la inversión y de la unicidad de la función característica.

“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”[pic 1]

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA, ESTADISTICA Y CIENCIAS SOCIALES

ESCUELA DE INGENIERIA ESTADISTICA

CURSO: Cálculo de probabilidades II

PROFESOR: Ing. Cirilo Álvarez Rojas

ALUMNO: Daniel Hernandez Tapia

CODIGO: 20142714H

TRABAJO: Teorema de la inversión y de la unicidad de la función característica.

FECHA DE ENTREGA: 9/05

LIMA-PERU

FORMULA DE INVERSION DE P. LÉVY

[pic 2]

OBS: Donde F(x-) representa el límite para cuando x tiende al infinito por la izquierda.

[pic 3]

OBS: el cambio que hicimos del orden de la integración es válido pues el integrando es una función continua y acotada en t є [-T;T] y z є R, incluyendo cuando t=0.

Ahora desarrollando la expresión en términos de senos y cosenos:

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En donde para cualquier número a є R, por ser coseno una función par y seno una función impar, se tiene lo siguiente:

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Por tanto

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El siguiente paso es aplicar el teorema de la convergencia dominada cuando T → ꝏ. La integral I(T) es la esperanza de la variable aleatoria

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Por tanto se tiene:

[pic 8]

Nos interesa encontrar el límite de esta variable aleatoria cuando T → ꝏ. Para ello se hace uso del siguiente resultado no trivial:

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En resumen podemos hacer lo siguiente:

[pic 10]

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TEOREMA DE LA UNICIDAD DE LA FUNCION CARACERISTICA

[pic 15]

Haciendo x→- ꝏ en la fórmula de inversión de P.Lévy:

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Sea Z < Y fijo. Y tomando límite cuando Y tiende a Z:

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Como la función de distribución es continua por la derecha, el lado izquierdo se reduce a F (z). Dado que todas las operaciones indicadas en el lado derecho de esta fórmula producen un único resultado, tenemos que a partir de una función característica φ (t), se obtiene una única distribución F (z).

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