Trazadores Cubicos

Trazadores Cúbicos (Cubic Splines)

José Manuel Montes Contreras

Facultad de ingeniería, Universidad Tecnológica de Bolívar

Cartagena de Indias, Colombia.

josemonthez@gmail.com

^[1] 

Abstract-- cubic splines have turned out to be one of the most convenient methods for any type of applications. a spline function is formed by several polynomials, each one described in an interval and which are joined together in certain circumstances of continuity.

1. Introducción

L os trazadores cúbicos han resultado ser uno de los métodos más convenientes para cualquier tipo de aplicaciones. Este modelo ha comprobado tener una enorme pulcritud o elegancia, que hasta se utiliza para el diseño asistido por computadora, como lo es la tipografía.

En el desarrollo de este artículo se dará a conocer de una manera más formal este método y sus aplicaciones.

1. definición del método

Los trazadores cúbicos  son un tipo de interpolación, llamados interpolación por splines o interpolación segmentada, cuyo objetivo principal es que en lugar de solo usar un polinomio para interpolar los datos, se pueden emplear segmentos de polinomios entre pares coordenados de datos y unirlos cada uno de forma apropiada para adecuar o ajustar los datos.

En palabra más simples, una función spline se forma por varios polinomios, cada cual descrito en un intervalo y que se unen entre sí en determinadas circunstancias de continuidad

De una manera más formal tenemos:

Un trazador cubico S es una función a trozos que interpola a f  en los puntos [pic 1][pic 2] con [pic 3][pic 4]  S es definida de la siguiente manera,[pic 5]

Donde,

1. [pic 6][pic 7]
2. [pic 8][pic 9]. Para efectos prácticos,[pic 10][pic 11] y [pic 12][pic 13] y [pic 14][pic 15]. El siguiente ítem asegura que [pic 16][pic 17]
3.  [pic 18][pic 19] para [pic 20][pic 21]
4. [pic 22][pic 23] = [pic 24][pic 25] para [pic 26][pic 27]
5. [pic 28][pic 29] para [pic 30][pic 31]
6. Se satisface una de las dos condiciones que siguen,

1. [pic 32][pic 33]
2. [pic 34][pic 35]

Para construir el trazador cúbico definimos cada polinomio cúbico Sj(x), lo que es lo mismo, se buscan sus coeficientes ai, bi, ci y di. Teniendo en cuenta las condiciones que se tienen que cumplir. De estas condiciones se obtiene un sistema de ecuaciones 4n × 4n, en el cual  las incógnitas son todos los coeficientes ai, bi, ci y di, i = 0,1,…, n − 1. Lo que se obtiene será un trazador cúbico único.

[pic 36]

Figura 1.

1. ejemplo trazado cubico

En siguiente se dan algunos valores de una serie de valores tabulados a intervalos regulares de la función

 f(x)=[pic 37][pic 38]en el intervalo [0,2.25]. También se indican los valores interpolados empleando el correspondiente spline cúbico así como el error absoluto cometido, El error es cero para los nodos. A continuación se representan gráficamente los valores tabulados. [pic 39]

  [pic 40]

 Figura 2.

[pic 41]

Figura 3.

1. conclusiones

A partir de lo anterior podemos que:

• los trazadores cúbicos es uno de los métodos más convenientes para cualquier tipo de aplicaciones.

Referencias

1. Universitat de Valencia, Splines Cúbicos.  [En Línea]. Disponible en: https://www.uv.es/~diaz/mn/node40.html
2. Arturo Guillen, Trazadores Cúbicos. [En Línea]. Disponible en: https://arturoguillen90.wordpress.com/interpolacion/trazadores-cubicos/
3. Yamil Armando Cerquera, Interpolacion con Trazadores o Splines. [En Linea]. Disponible en: http://www.ilustrados.com/documentos/eb-splines%20cubicos.pdf

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