Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico
Enviado por ramsses27 • 27 de Octubre de 2015 • Resúmenes • 4.257 Palabras (18 Páginas) • 295 Visitas
Unidad I. La Problemática
Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico
En este tema se continúa con el análisis de tipo cualitativo para predecir el comportamiento de la magnitud en estudio, con la idea de tomar decisiones respecto a si la magnitud está aumentando o disminuyendo, además de precisar cómo realiza esa acción. Todo esto se discute a través del análisis de la razón de cambio de la magnitud. Como producto de un acercamiento visual a las gráficas de razón de cambio y magnitud se establecen relaciones entre ambas gráficas. Las nociones de punto máximo y mínimo, se agregan a la de punto de inflexión, que surge de este análisis, y con esto se enriquece la interpretación del comportamiento de la magnitud modelada mediante la función. Aunque los resultados en este tema son válidos en cualquier función cuyas propiedades matemáticas coinciden con las de las funciones polinomiales. Sin embargo, será en el marco particular de la función cúbica donde se apoyan las inferencias que se establecen en dichos resultados. Este tema incluye un estudio exhaustivo del modelo cúbico y su aplicación en problemas reales.
Situación Problema 1.5: Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto con base de área 900 centímetros cuadrados y 1 metro de altura. Tres llaves actúan en el tanque a partir de cierto instante (cuanto t=0) de tal manera que el nivel del agua h (medido en centímetros) cambia con respecto al tiempo t transcurrido (medido en minutos).[pic 2]
La función que expresa el nivel del agua con respecto al tiempo es:
[pic 3]
- En el sistema coordenado dado, grafica la razón de cambio del nivel del agua con respecto al tiempo.
[pic 4]
- Utiliza la información de esta gráfica para realizar después la del nivel del agua en ese mismo sistema coordenado.
- Finalmente, describe lo que sucede con el nivel del agua en el tanque: ¿Crece?, ¿Decrece?, ¿Lo hace cada vez más rápido?, ¿Lo hace cada vez más lento?
- ¿Cómo saber si el agua rebosará el tanque?, ¿podría calcularse si es posible el instante?
Generalizaciones a partir de la Situación Problema 1.5
Primer resultado: puntos de inflexión
El comportamiento del nivel del agua en el tanque muestra un evento singular que se genera alrededor del instante ; se trata del cambio en la forma en que el nivel crece, de cada vez más lento a cada vez más rápido.[pic 5]
Visualmente, en la gráfica de este cambio ocurre en un punto donde hay un cambio de concavidad, a este punto se le conoce como punto de inflexión.[pic 6]
El punto de inflexión de la gráfica de coincide con el punto mínimo de la gráfica de . En este punto mínimo la razón de cambio deja ser decreciente para ser creciente.[pic 7][pic 8]
El decrecimiento de la razón de cambio (derivada) se relaciona con la concavidad hacia abajo de la gráfica y la función. Mientras que el crecimiento de la razón de cambio se relaciona con la concavidad hacia arriba de la gráfica de la función.
El punto mínimo de la razón de cambio nos señala la existencia de un punto de inflexión en la gráfica de la magnitud en estudio.
Deriva y´=f´(x) (razón de cambio, velocidad) | Función y = f(x) (magnitud, posición) |
Positiva[pic 9] | Creciente |
Negativa[pic 10] | Decreciente |
Creciente[pic 11] | Cóncava hacia arriba |
Decreciente[pic 12] | Cóncava hacia abajo |
Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico
Ejercicio 1.5
Problema 1. Considera la función cúbica . Realiza lo siguiente:[pic 13]
- Grafica la derivada de la función y señala en ella los puntos importantes.
- Auxiliándote de la gráfica de la derivada de la función, grafica .[pic 14]
- Señala en la gráfica de los puntos máximo, mínimo, inflexión, intersecciones con el eje x si es posible, intersección con el eje y.[pic 15]
- Intervalos donde la función crece, decrece, CHA y CHB.
Problema 2. Considera la función cúbica . Realiza lo siguiente:[pic 16]
- Grafica la derivada de la función y señala en ella los puntos importantes.
- Auxiliándote de la gráfica de la derivada de la función, grafica .[pic 17]
- Señala en la gráfica de los puntos máximo, mínimo, inflexión, intersecciones con el eje x si es posible, intersección con el eje y.[pic 18]
- Intervalos donde la función crece, decrece, CHA y CHB.
Tema 1.5 Estudio cualitativo del cambio NO uniforme: Modelo Cúbico
Caso 1. La temperatura como función del tiempo.
Si pensamos en el cambio que experimenta la temperatura del medio ambiente en un día cualquiera, podemos identificar dos sucesos comunes, la temperatura aumenta de manera notoria al amanecer, llegará un momento en que no sea notorio pero sigue aumentando hasta llegar a un valor máximo y entonces comienza el descenso. Un modelo cuadrático para este comportamiento, aunque veremos posteriormente un modelo que resulta más cercano a la realidad. Supongamos que la temperatura T, en un día de enero en el campus, era de 2°C a las cero horas, y la razón a la que fue cambiando durante ese día, con respecto al tiempo t, está siendo modelada por la función:[pic 19]
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