Vaillard Ceballos

Vaillard Ceballos María Elena

Suponga que el proyectil se dispara de un cañón el cual está inclinado un ángulo θ_0 con la horizontal y que le imparte al proyectil una velocidad de salida de magnitud v_0 .Asumiendo ninguna resistencia del aire y una tierra estacionaria y plana, se requiere describir el vuelo resultante.

Formulación matemática: Localicemos el cañón en el origen O de un sistema de ejes coordenados xy .La curva punteada indica la trayectoria del proyectil ; OV representa la velocidad de salida, un vector de magnitud VO y una dirección en el plano xy formando un ángulo θ_0 con el eje x positivo. Las componentes de la velocidad en las direcciones xy y tienen magnitudes v_0 cosθ_0 y v_0 senθ_0,respectivamente. Puesto que no hay fuerza de resistencia del aire la única fuerza acutuando sobre el proyectil de masa m es un peso de mg .Tomemos “arriba” y “derecha” como las direcciones positivas . De acuerdo a la Ley de Newton tenemos:

fuerza neta en la dirección x=masa por la aceleración en la dirección x

fuerza neta en la dirección y=masa por aceleración en la dirección y

las cuales podemos escribir como F_X=ma_x,F_y=ma_y.Puesto que la fuerza neta en la dirección x es cero y a_x=(d^2 x)/(dt^2 ) , tenemos

m (d^2 x)/(dt^2 )=0 ó (d^2 x)/〖dt〗^2 =0 (1)

Puesto que la fuerza neta en la dirección y es –mg(porque “abajo” es la dirección negativa) y puesto que a_y=(d^2 y)/(dt^2 ),tenemos

m (d^2 y)/(dt^2 )=-mg ó (d^2 y)/〖dt〗^2 =-g (2)

Además, de las condiciones del problema tenemos

x=0 y=0, dx/dt=v_0 cosθ_0,dy/dt=v_0 senθ_(0 ,) en t=0 (3)

Nuestra formulación matemática completa consiste de las ecuaciones diferenciales (1) y (2) sujeta a las condiciones (3).De las ecuaciones diferenciales se ve que el movimiento no depende de m , y por lo tanto del tamaño del proyectil ,con tal de que no haya resistencia del aire.

Solución: Al integrar (1) tenemos dx/dt=c_1. Aplicando la condición que dx/dt=v_0 cosθ_0 en t=0 , veamos que c_1 〖=v〗_0 cosθ_0 ,esto es, dx/dt=v_0 cosθ_0 . Con otra integración x=(v_0 cosθ_0 )t+c_2, y puesto que x=0 en t=0,c_2=0 y tenemos

x=(v_0 cosθ_0 )t (4)

De manera similar, tenemos que integrar (2) dy/dt= -gt+c_3 y puesto que dy/dt=v_0 senθ_0 en t=0,c_3= v_0 senθ_(0,) y encontramos

dy/dt= -gt+v_0 senθ_(0,) (5)

Con otra integración , usando el hecho de que y=0 en t=0, tenemos

y=(v_0 senθ_0 )t- 1/2 gt^2 (6)

La solución deseada es x=(v_0 cosθ_0 )t,y=(v_0 senθ_0 )t- 1/2 gt^2 (7)

Estas ecuaciones dan posición (x,y) del proyectil en cualquier tiempo t después del disparo.De ellas podemos discutir cualquier cosa relacionada con el movimiento .Por ejemplo , suponga que hacemos las siguientes preguntas:

¿Cuál es el tiempo total del vuelo de O a A?

¿Cuál es el rango (distancia OA sobre el eje x)?

¿Cuál es la máxima altura alcanzada?

¿Qué tipo de curva describe el proyectil?

La pregunta 1 será contestada si encontramos los valores de t que hacen y=0 . De (6) vemos que esto es así cuando

t[v_o senθ_0-1/2 gt]=0 ó t=0;t=(2v_o senθ_0)/g

El segundo valor de t da el tiempo cuando el proyectil está en A. De donde

tiempo de vuelo=(2v_o senθ_0)/g (8)

Para responder la pregunta (2) calculamos el valor de x cuando t=tiempo de vuelo.De la primera de las ecuaciones (7) tenemos por lo tanto

rango= ((v_o cosθ_0 )(2v_0 senθ_0))/g=(v_0^2 sen〖2θ〗_0)/(g ) (9)

De (9) es claro que el rango es máximo cuando 2θ_0=90°, esto es θ_0=45° y el rango máximo es (v_0^2)/g.

Para responder la pregunta 3 debemos encontrar cuando y

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