Recuperatorio primer parcial Álgebra Lineal Computacional

Recuperatorio del Primer Parcial – 4 de julio de 2025

Ejercicio 1. Dado α ∈ ℝ se define

1. ¿Para qué valores de α se cumple que dim(Im(Aα)) = 2?
2. ¿Para qué valores de α se cumple que Nú(Aα) ⊂ Im(Aα)?

Ejercicio 2. Dada A ∈ ℝn×n, se desea resolver un sistema Ax = b. Para ello, se toma una descomposición de A, A = ST, y se resuelven sucesivamente los sistemas: Sy = b, Tx = y. El dato b no es conocido de manera exacta, sino que se tiene una aproximación b̃, lo que conduce a una solución x̃.

1. Probar que la resolución a través de la descomposición ST admite la cota para el error relativo:

1. Considerar

y tomar S y T dados por la descomposición LU de A. ¿Cómo queda la cota del error relativo, en norma infinito?

1. Repetir las cuentas para la descomposición QR. ¿Cuál parece preferible?

Ejercicio 3. Sean S y T dos subespacios de ℝ3, dados por

1. Mostrar que S ⊕ T = ℝ3.
2. Hallar un proyector P que tenga como imagen a S y como núcleo a T. ¿Es el hallado un proyector ortogonal? ¿Por qué?
3. Demostrar que I − P también es un proyector. ¿Sobre qué subespacio proyecta?

Ejercicio 4. Sea A ∈ ℝ5×5 invertible tal que dim(Nú(−½I − A−1)) = 1, el rango de 2I − A es 4, dim(Nú(I − A)) ≥ 2 y tr(A) = 4.

1. Hallar todos los autovalores de A.
2. ¿Es A diagonalizable?
3. Sea B = A2 − 4I. ¿Es B invertible?

Completar esta hoja con los datos personales y entregar con el resto del examen.

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