Las Numerica

Ejemplos según las propiedades de orden[editar · editar fuente]

Sistemas numéricos totalmente ordenados[editar · editar fuente]

Los naturales \mathbb{N}, los enteros \mathbb{Z}, los racionales \mathbb{Q} y los reales \mathbb{R} son ejemplos de conjuntos totalmente ordenados.

Los enteros gaussianos o los complejos no son un conjunto totalmente ordenado, ya que no puede definirse un orden total compatible con las operaciones aritméticas. Ese hecho se sigue de que tanto la hipótesis de que i > 0 como i < 0 conducen a una contradicción, si se admite que el orden propuesto es no-trivial y compatible con la multiplicación.

Tampoco números enteros módulo n no admiten ningún orden total compatible con la suma ya que al ser grupos cíclicos respecto a la suma. Ya que a > 0 debería implicar dos cosas que su opuestos aditivo -a < 0 y además que sumar un número finito de veces a consigo mismo implica n·a > 0, pero dado que (n-1)·a = -a, se llega a una contradicción, al ser el primer miembro postivo y el segundo negativo.

Sistemas numéricos bien ordenados[editar · editar fuente]

Los números naturales \mathbb{N} son un ejemplo de sistema numérico que es además un conjunto bien ordenado.

Los números enteros no son un conjunto bien ordenado, aunque cualquier subconjunto acotado de los eneteros sí es finito y por tanto también es un conjunto bien ordenado.

Los números racionales y reales no son un conjunto bien ordenado. Ni siquiera los cualquier subconjunto acotados de números racionales o reales es un conjunto bien ordenado. Por ejemplo el intervalo abierto (0,1) es un subconjunto acotado tanto en los racionales como en los reales pero no tiene un elemento mínimo perteneciente al conjunto, ya que 0 no es un elemento de ese subconjunto.

Sistemas numéricos con orden denso[editar · editar fuente]

Ni los números naturales, ni los enteros tienen un orden denso, ya que pueden seleccionarse dos números consecutivos tales que entre ellos no exista ningún otro elemento. Por ejemplo, no existe ningún otro número entero entre 2 y 3.

En cambio los racionales y los reales tienen un orden denso, dados dos números diferentes r1 y r2 siempre existe algún otro número entre ellos por ejemplo (r1+r2)/2 ó (2r1+r2)/3

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