Recta numerica

RECTA NUMÉRICA

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:

-Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera. Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:

los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero. Puedes ver que el número 3 está más alejado del 0, es el número más grande que ubicamos en la recta.

-Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador.

Por ejemplo:

La fracción 3/5 se ubica en la recta, en el punto amarillo. El segmento de recta que representa al número 1 lo dividimos en cinco partes que están indicadas de color rojo. De esas cinco partes, tomamos las tres que están señaladas con color azul.

Si prestas atención verás que el número 3/5 está más cerca del 0, por lo tanto es más pequeño que el número 1.

Mira los siguientes diagramas:

Los dos rectángulos tienen la misma longitud, el de arriba representa la unidad, o sea al número 1. A ese rectángulo lo dividimos en cinco partes iguales y pintamos tres de ellas.

La parte amarilla representa el número 3/5, y como verás ocupa menos espacio, por lo tanto es menor que la unidad.

Usamos la recta

Observa la siguiente recta numérica:

El segmento de recta que representa al número 1 está dividido en 5 partes iguales, de esas partes tomamos 4 para ubicar la fracción 4/5. Es más pequeña que la unidad

Esta otra recta puedes ver la ubicación de la fracción 1/3, junto con el diagrama que la representan.

Es más pequeña que la unidad

Aquí cada segmento de recta fue dividido en 3, o sea en tercios (puedes verlos marcados con color rojo). De esos tercios se tomaron 5 que están indicados con color azul. Quedó representada en la recta la fracción 5/3, Es más grande que la unidad

Observa la representación usando un dibujo:

Se necesitan dos unidades, pero la segunda no está completa.

Números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Subconjunto de los números Reales

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos94/numerosreales/numerosreales.shtml#ixzz2cQZ72GEc

Los números reales son sólo números como:

1 12.38 -0.8625 3/4 √2 1998

De hecho:

Casi todos los números que se te ocurran son números reales

Los números reales incluyen:

Los números enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)

Los números racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)

Los números irracionales (como π, √3, etc.)

Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.

Entonces... ¿qué números NO son reales?

√-1 (la raíz cuadrada de menos 1) no es un número real, es un número imaginario

Infinito no es un número real

Y también hay otros números especiales que los matemáticos usan y que no son números reales

¿Por qué se llaman números "reales"?

Porque no son números imaginarios.

No se llaman "reales" porque muestren valores de cosas reales.

En matemáticas los números son puros y exactos, si escribimos 0.5 queremos decir exactamente una mitad, pero en el mundo real una mitad puede no ser exacta (prueba a cortar una manzana exactamente por la mitad).

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES

Debemos entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números Reales.

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan:

Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.

3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3

El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).

Inverso aditivo

Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.

Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.

Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a, -(-a) = a

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9

Valor absoluto

El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un numero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.

La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo

El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos94/numerosreales/numerosreales.shtml#ixzz2cQZp1Jg4

Tricotomía

La ley de la triconomia, es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por lo cual todos sus elementos son comprobables entres si.

De acuerdo con la propiedad de la Tricotomía se tiene que:

x> y, x = y o x <y.

Es decir, un número real puede ser positivo, negativo o cero.

Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar, se utiliza para la evaluación de los números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. Con respecto a los Números Reales, puede ser reformulada como:

Por cada dos Números Reales x e y, de cada tres relaciones, para una de las relaciones es cierto que:

a> b, a = b o a <b.

En palabras más simples, para cualquier relación correspondiente S en el conjunto Q, la relación se dice que es tricotómica si, una de las relaciones mantiene:

x Q y, x = y y Q x

Cuando se habla de la propiedad reflexiva o total, no es necesario que la ley de la Tricotomía se mantenga.

Como x Q x no debe ser verdadero. Las relaciones tricotómicas también son asimétricas, al ver que y R x e x R y son siempre falsas.

Una relación tricotómica siempre es no simétrica

. Por ejemplo: 4 <4 es falsa siempre.

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.

Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de

xRy, x=y, yRx

asimientos.

Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.

Propiedads de relaciones tricótomas

Propiedad Ecuación Descripción

Propiedad

simétrica xRx es siempre falso. Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.

Propiedad

reflexiva Si xRy entonces no yRx Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.

Propiedad

transitiva Si xRy y xRz entonces xRz Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.

La aplicación de la Tricotomía y sus propiedades puede ser mejor entendido con la ayuda del siguiente ejemplo:

Mientras se resuelven dos expresiones lineales

-2x + 7

3x + 5

La ley de tricotomía propone tres posibilidades muy variadas:

(1). −2x + 7 > 3x + 5

(2). - 2x + 7 = 3x + 5

(3). – 2x + 7 < 3x + 5

Se dice que cuando uno de los valores de la solución toma la posición de la variable x, en ese caso, exactamente una de las ecuaciones es cierta.

Se puede establecer simplemente como la unión de los conjuntos de soluciones de los números reales R, y la intersección de cualquiera de los dos grupos en el conjunto vacío.

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.

Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de

xRy, x=y, yRx

asimientos.

Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.

Propiedads de relaciones tricótomas

Propiedad Ecuación Descripción

Propiedad

simétrica xRx es siempre falso. Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.

Propiedad

reflexiva Si xRy entonces no yRx Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.

Propiedad

transitiva Si xRy y xRz entonces xRz Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.

Para mayor comprensión:

La ley de tricotomía dice: - Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el. - Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el. - Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el. Un ejemplo de aplicación de esta ley en la vida diaria es el siguiente: Si miramos el dinero que llevas en el bolsillo hay 3 posibilidades - Tienes más de 14 pesos. - Tienes menos de 14 pesos. - Tienes exactamente 14 pesos.

Transitividad

La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales.

En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad.

De acuerdo con la transitividad de la igualdad, siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

En lenguaje matemático seria:

Si A,B y C son números naturales que cumplen, entonces A<B y B<C por transitividad se dice que A<C

Para una mayor comprensión, ejemplo:

Si 3 divide a 12 y 12 divide a 48, la transitividad establece que 3 divide a 48.

La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.

Si a, b, c son tres números reales y

1). Si a <b y b <c, entonces en ese caso, a < c.

2). Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.

3). Si a> b y b> c, entonces a > c.

4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces b ≥ c.

En general, los primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor que o igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el 1er número es menor o igual que el tercero.

La propiedad de la transitividad tiene algunas subpropiedades, las cuales incluyen:

1).La Inversa de cualquier relación transitiva es también transitiva.

2). La intersección de dos o más relaciones transitivas también es transitiva.

3). Sin embargo, la unión de dos relaciones transitivas es veto transitiva, es decir, no es transitiva.

4). Del mismo modo, la negación de cualquier relación transitiva podría no ser necesariamente transitiva.

Los ejemplos son la manera perfecta para una mayor aceptación de los conceptos. Por tanto, un ejemplo de la transitividad puede ser muy útil:

Supongamos que la ecuación dada está en forma de expresión, es decir,

7 ≥ (3 + a) y (3 + a)> 2

Y la pregunta provista es demostrar que 8> 5, con la ayuda de la ecuación dada.

De acuerdo con la cláusula de la transitividad de las desigualdades en las matemáticas, si A ≥ B & B> C, en ese caso se puede concluir que A> C. Entonces, la solución de la ecuación puede ser procesada como,

A ≥ B = 7 ≥ (3 + a)

B > C = 3 + a > 2

A> C = 7 > 2

Por lo tanto, se demuestra por las siguientes ecuaciones que 7> 2

Ejercicios

1. El área del cuadrado A es mayor al área del cuadrado B, Y el área del cuadrado B es menor que el área del cuadrado C.

Por transitividad digo que ____________________________.

2. 42 es múltiplo de 21, y 21 es múltiplo de 7.

Por transitividad se dice que__________________________.

Densidad

Un número real es un número que existe en la realidad, lo que significa que cada punto en la recta numérica real representa un número real.

Puede ser un número racional o irracional, un número entero o trascendental, de cualquier tipo.

Existe una serie de propiedades de los números reales que deben ser estudiadas a profundidad para entender el concepto de los números reales y también las operaciones basadas en números reales.

La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los números reales son densos en naturaleza, o en términos simples, entre dos números reales existe un tercer número real, en todos los casos.

En la figura anterior, existen una cantidad infinita de números reales entre cero y uno.

A la luz de la declaración anterior se puede concluir que la recta numérica no tiene espacios entre ella y por esta razón es muy densa, representando así una cantidad infinita de números sobre ella.

Para demostrar la afirmación anterior, mire la prueba debajo. Consideremos dos números reales x e y, donde x es menor que y.

Entonces, debe estar en algún lugar entre los dos números. Ahora, si r y s son números reales, entonces representa el conjunto de números infinitos que existen entre x e y en la recta numérica real.

La ecuación anterior también se puede probar,

r*x + s*y/ r + s = (r + s)*x + s*(y – x)/ r + s

= x + (s/ r + s)*(y – x) > x

= r*(x – y) + (r + s)*y/ r + s

= y - (s/ r + s)*(y – x) < y.

La propiedad de la densidad es dependiente de un conjunto que es mayor que el subconjunto dado y en el cual podemos acomodar el subconjunto dado.

Lo que significa que, si B es un conjunto que contiene todos los elementos del conjunto A, y se asume que A es denso en B, entonces existen una cantidad de elementos infinitos entre ellos como B / A.

Está fuertemente establecido que no puede existir un par de números reales que no contengan otro número real entre ellos.

Esto también significa que la recta numérica real está formada de manera muy íntima teniendo una infinidad de números sobre ella.

Sobre la recta numérica real, existen algunos números racionales entre el conjunto de dos números reales, existen algunos números irracionales entre un conjunto de dos números racionales; existen algunos números racionales entre un conjunto de dos números irracionales.

La recta numérica real es tal que para cualquier número real a y sean mayores que cero, entonces otro número racional es .

Esta propiedad viola la propiedad de numerabilidad que los estudiantes leen desde temprana edad, de que podemos contar los números reales.

Lo verdaderamente cierto, es que los números reales no se pueden contar.

Tomemos ahora un ejemplo para clarificar el concepto. Demostrar que si r – s > 1, entonces para un número entero k lo siguiente es cierto, r <k <s.

Supongamos que un número entero el cual es el mayor entero que satisface la ecuación <= r.

Entonces para la ecuación r – s > 1, podemos mantener los valores, y> x + 1> = + 1.

Y a nuestro conocimiento <= x < + 1 se mantiene cierto.

Por tanto al comparar las ecuaciones, x < + 1 < y se convierte verdadero y esto produce k = + 1

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