Aplicaciones Generales De La Trigonometria

Aplicaciones generales de la trigonometría

Se plantea que si ninguno de los ángulos de un triangulo es recto, el triangulo es oblicuo así bien un triangulo oblicuo tendrá 3 ángulos agudos, o bien dos ángulos agudos y un obtuso

Para resolver un triangulo oblicuo

Se determinan las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Ahora bien para poder realizar esto tenemos que conocer la longitud de un lado juntos con otros dos datos: dos ángulos, o los otros dos lados o un ángulo y el otro lado; Así pues existen 4 formas:

CASO 1: Se conocen un lado y dos ángulos (LAA o ALA).

CASO 2: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)

CASO 3: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL).

CASO 4: Se conocen tres lados (LLL)

La ley de los senos se utiliza para resolver triángulos de los casos 1 y 2

Teorema ley de los senos

Para un triangulo con lados a, b, c y ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente:

(sen α)/a = (sen β)/b = (sen γ)/c

Para demostrar la ley de los senos trazamos una altura de longitud h desde uno de los vértices del triangulo en cuestión. La figura (a) muestra h para un triangulo con tres ángulos agudos. Se traza la altura desde el vértice β

Tenemos:

sen γ= h/α

De donde:

h= α sen γ

También tenemos

sen α= h/c

De donde:

h=c sen α

La figura (b) muestra h para un triangulo con un ángulo obtuso. Se traza la altura desde el vértice β.

Implica que

sen α=sen (180°-α=h/c)

Y de nuevo:

h=c sen α

Ya sea que el triangulo tenga tres ángulos agudos o dos ángulos agudos y uno obtuso, las ecuaciones (2) y (3) son validas. Como resultado se pueden igualar las expresiones para h en las ecuaciones (2) y (3) y así obtener:

α sen γ=c sen α

De donde:

(sen α)/α= (sen γ)/c

Así pues al trazar la altura h´ desde el vértice del ángulo β como la figura 1-c se demuestra que

sen β= (h´)/(c ) y sen γ=(h´)/b

Así:

h´=c sen β=b sen γ

Y

(sen β)/b= (sen γ)/c

Si las ecuaciones (4) y (5) se combinan obtendremos la ecuación (1), la ley de los senos.

Para resolver triángulos se debe tomar muy en cuenta que “la suma de los ángulos de cualquier triangulo es igual a 180°”; es decir:

α+β+γ=180°

Ejemplos:

Uso de la ley de los senos para resolver un triangulo LAA

Resuelva el triangulo: α = 40°, β = 60°, α = 4

Solución: se muestra un triangulo por resolver. Donde el tercer ángulo γ es fácil de encontrar con la ecuación 6

α+β+γ=180°

40°+60°+ γ=180°

γ=180°

Utilizaremos la ley de los senos dos veces

para determinar los lados b y c.

(sen α)/a= (sen β)/b (sen α)/a=(sen γ)/c

Como α = 4, α = 40°, β = 60° y γ = 180°, tenemos

(sen 40°)/4= (sen 60°)/(b ) (sen 40°)/4=(sen 80°)/c

De ese modo:

b=(4 sen 60°)/(sen 40°)≈5.39

c=(4 sen 80°)/(sen 40°)≈6.13

En el ejemplo 1 determinamos b y c utilizando el lado conocido a. Esto es mejor que determinar primero b y trabajar luego con un valor redondeado de b para calcular c.

Eso de la ley de los senos para determinar un triangulo ALA

Resuelva el triangulo: α= 35°, β=15°, c= 5

Solución: Como se conocen dos ángulos (α= 35° y β=15°) será fácil determinar el tercer ángulo mediante la ecuación: α+β+γ=180°

α+β+γ=180°

35° + 15° + γ = 180°

γ = 130°

Ahora conocemos los tres ángulos y un lado (c=5) del triangulo. Para determinar los otros los lados, a y b, utilizamos dos veces la ley de los senos:

(sen α )/a = (sen γ)/c (sen β)/b = (sen γ)/c

(sen 35°)/a = (sen 130°)/5 (sen 15°)/b = (sen 130°)/5

a=(5 sen 35)/(sen 130) ≈ 3.74 b=(5 sen 15°)/(sen 130°)≈ 1.69

Uso de la ley de los senos para resolver un triangulo LLA (una solución)

Resolver el triangulo: a=3, b=2, α=40°

Entonces: ( sen 40°)/3 = (sen β)/2

sen β=(2 sen 40°)/3≈0.43

Existen dos ángulos β, = 0° < β < 180°, para los que sen β ≈ 0.43:

β ≈ 25.4° y β ≈ 154.6°

Se descarta la segunda posibilidad, pues α = 40°, lo que hace que α + β ≈ 194.6° > 180°. Ahora, con β ≈ 25.4° tenemos

γ = 180° - α – β ≈ 180° - 40° - 25.4° = 114.6°

Ahora podemos determinar el lado c mediante la ley de los senos:

(sen γ)/c= (sen α)/a

(sen 114.6°)/c= (sen 40°)/3

c=(3 sen 114.6°)/(sen 40°)≈4.24

Triangulo resuelto:

Uso de la ley de los senos para resolver un triangulo LLA (dos soluciones)

Resolver el triangulo: a= 6, b= 8, α= 35°

Solución: Como conocemos a= 6, b = 8, y α= 35°, utilizamos la ley de los senos para determinar el ángulo β:

(sen α)/a= (sen β)/b

Entonces:

(sen 35°)/6= (sen β)/8 sen β= (8 sen 35°)/6 ≈0.76

β_(1 )≈49.9° o β_2 ≈130.1°

Para ambas posibilidades tenemos que α + β < 180°. Por lo tanto, hay dos triángulos, uno con el ángulo β = β_(1 ) ≈49.9° y el otro con el ángulo β = β_2 ≈ 130.1°. El tercer ángulo γ es

γ_1=180°- α- β_1 ≈ 95.1° o γ_2=180°- α- β_2≈14.9°

El tercer lado c satisface la ley de los senos, de modo que

(sen γ)/c= (sen α)/a

(sen 95.1°)/c_1 = (sen 35°)/6 o (sen 14.9°)/c_2 =(sen 35°)/6

c_1= (6 sen 95.1°)/(sen 35°) ≈10.42 c_2= (6 sen 14.9°)/(sen 35°) ≈2.69

Uso de la ley de los senos para resolver un triangulo LLA (sin solución)

Resolver el triangulo: a= 2, c= 1, γ= 50°

Solución: Como conocemos a = 2, c = 1, y γ= 50°, utilizamos la ley de los senos para determinar el ángulo α:

(sen α)/a= (sen γ )/c = (sen α)/2= (sen 50°)/1 = sen α=2 sen 50°≈1.43

No existe un ángulo α para el cual sen α > 1, Por lo tanto, no existe un triangulo con las medidas dadas.

No importa la posición en que pretendamos colocar el lado c, este nunca cortará al lado b para formar un triangulo

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos se puede aplicar a los casos 2 y 3 mencionados en el apartado anterior. Se escribirán de nuevo.

CASO 2: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)

CASO 3: SE conocen tres lados (LLL).

Teorema de ley de los cosenos

El cuadrado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de su producto por el coseno del ángulo entre esos lados.

Formulas para un triangulo de lados a, b, c y ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente:

c^2= a^2+ b^2-2ab cos⁡γ (1)

b^2= a^2+ c^2-2ac cos⁡β (2 )

a^2= b^2+c^2-2bc cos⁡α (3)

Demostración:

Primero se colocara un triangulo en un sistema de coordenadas rectangulares, de manera estratégica, de modo que el vértice del ángulo “γ” quede en el origen y el lado “b” esté a lo largo del eje “x” positivo. Ya sea que “γ” sea agudo, el vértice B tiene coordenadas (a cos γ, a sen γ). El vértice A tiene coordenadas (b,0).

El ángulo “γ” es agudo.

Ahora podemos utilizar la formula de la distancia para calcular c^2

c^2=(b-a cos⁡γ ) ^(2 )+(0-a sen γ) ^2

= b^2- 2ab cos⁡γ+ a^2 cos⁡γ+a^2 〖sen〗^2 γ

=a^2 (〖cos〗^2 γ + 〖sen〗^2 γ)+ b^2- 2ab cos⁡γ

=a^2+ b^2- 2ab 〖cos 〗⁡γ

Ejemplos:

Uso de la ley de los cosenos para resolver un triangulo LAL.

Resolver el triangulo a = 2, b = 3, γ = 60°

Solución: La ley de los cosenos permite determinar con facilidad el tercer lado, c:

c^2= a^2+ b^2- 2ab cos⁡γ

=4+9-2 .2 .3 .cos⁡〖60°〗

=13-(12 .1/2)=7

c= √7

El lado c tiene como longitud √7. Pues determinar los ángulos α y β podemos utilizar la ley de los senos o la de los cosenos, Es mejor utilizar la ley de los cosenos

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