Aplicaciones Generales De La Trigonometria
Enviado por Goethe • 3 de Diciembre de 2012 • 3.468 Palabras (14 Páginas) • 551 Visitas
Aplicaciones generales de la trigonometría
Se plantea que si ninguno de los ángulos de un triangulo es recto, el triangulo es oblicuo así bien un triangulo oblicuo tendrá 3 ángulos agudos, o bien dos ángulos agudos y un obtuso
Para resolver un triangulo oblicuo
Se determinan las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Ahora bien para poder realizar esto tenemos que conocer la longitud de un lado juntos con otros dos datos: dos ángulos, o los otros dos lados o un ángulo y el otro lado; Así pues existen 4 formas:
CASO 1: Se conocen un lado y dos ángulos (LAA o ALA).
CASO 2: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)
CASO 3: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL).
CASO 4: Se conocen tres lados (LLL)
La ley de los senos se utiliza para resolver triángulos de los casos 1 y 2
Teorema ley de los senos
Para un triangulo con lados a, b, c y ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente:
(sen α)/a = (sen β)/b = (sen γ)/c
Para demostrar la ley de los senos trazamos una altura de longitud h desde uno de los vértices del triangulo en cuestión. La figura (a) muestra h para un triangulo con tres ángulos agudos. Se traza la altura desde el vértice β
Tenemos:
sen γ= h/α
De donde:
h= α sen γ
También tenemos
sen α= h/c
De donde:
h=c sen α
La figura (b) muestra h para un triangulo con un ángulo obtuso. Se traza la altura desde el vértice β.
Implica que
sen α=sen (180°-α=h/c)
Y de nuevo:
h=c sen α
Ya sea que el triangulo tenga tres ángulos agudos o dos ángulos agudos y uno obtuso, las ecuaciones (2) y (3) son validas. Como resultado se pueden igualar las expresiones para h en las ecuaciones (2) y (3) y así obtener:
α sen γ=c sen α
De donde:
(sen α)/α= (sen γ)/c
Así pues al trazar la altura h´ desde el vértice del ángulo β como la figura 1-c se demuestra que
sen β= (h´)/(c ) y sen γ=(h´)/b
Así:
h´=c sen β=b sen γ
Y
(sen β)/b= (sen γ)/c
Si las ecuaciones (4) y (5) se combinan obtendremos la ecuación (1), la ley de los senos.
Para resolver triángulos se debe tomar muy en cuenta que “la suma de los ángulos de cualquier triangulo es igual a 180°”; es decir:
α+β+γ=180°
Ejemplos:
Uso de la ley de los senos para resolver un triangulo LAA
Resuelva el triangulo: α = 40°, β = 60°, α = 4
Solución: se muestra un triangulo por resolver. Donde el tercer ángulo γ es fácil de encontrar con la ecuación 6
α+β+γ=180°
40°+60°+ γ=180°
γ=180°
Utilizaremos la ley de los senos dos veces
para determinar los lados b y c.
(sen α)/a= (sen β)/b (sen α)/a=(sen γ)/c
Como α = 4, α = 40°, β = 60° y γ = 180°, tenemos
(sen 40°)/4= (sen 60°)/(b ) (sen 40°)/4=(sen 80°)/c
De ese modo:
b=(4 sen 60°)/(sen 40°)≈5.39
c=(4 sen 80°)/(sen 40°)≈6.13
En el ejemplo 1 determinamos b y c utilizando el lado conocido a. Esto es mejor que determinar primero b y trabajar luego con un valor redondeado de b para calcular c.
Eso de la ley de los senos para determinar un triangulo ALA
Resuelva el triangulo: α= 35°, β=15°, c= 5
Solución: Como se conocen dos ángulos (α= 35° y β=15°) será fácil determinar el tercer ángulo mediante la ecuación: α+β+γ=180°
α+β+γ=180°
35° + 15° + γ = 180°
γ = 130°
Ahora conocemos los tres ángulos y un lado (c=5) del triangulo. Para determinar los otros los lados, a y b, utilizamos dos veces la ley de los senos:
(sen α )/a = (sen γ)/c (sen β)/b = (sen γ)/c
(sen 35°)/a = (sen 130°)/5 (sen 15°)/b = (sen 130°)/5
a=(5 sen 35)/(sen 130) ≈ 3.74 b=(5 sen 15°)/(sen 130°)≈ 1.69
Uso de la ley de los senos para resolver un triangulo LLA (una solución)
Resolver el triangulo: a=3, b=2, α=40°
Entonces: ( sen 40°)/3 = (sen β)/2
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