Lineal De Tiempo De Presidentes De Mexico

Teoremas sobre límites

Teorema

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b

T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.

Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.

Suponemos que b > c.

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.

limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.

Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Entornos de b y c disjuntos

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple

f(x) pertenece a Eb,ε

f(x) pertenece a Ec,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.

Absurdo de suponer b ≠ c.

Por lo tanto b = c.

Definición

Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :

limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.

Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :

limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).

x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) = x2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

Ilustración geométrica de los límites laterales limx->2-f(x)=4

limx->2+f(x)=-3

No existe limx->2f(x)

Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b

T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b

Demostración:

Directo:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b.

y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b.

Recíproco:

limx->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε.

limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

=> (por def. de límite) limx->af(x) = b.

Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x) ≠ limx->2+f(x).

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