PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

Qué es el Producto?

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación.

 ¿Qué son los Productos Notables?

Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 El siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2- b2 (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3- b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2- ab) Suma de cubos

a4- b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

 ¿Qué es el Factor?

También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

 Factor Común

Representación gráfica de la regla de factor común.

El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es:

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb. Ejemplo:

 Cuadrado de la Suma de Dos Cantidades o Binomio Cuadrado

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2

 Cuadrado de la Diferencia de Dos Cantidades o Binomio de Resta al Cuadrado

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

• a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Demostración

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos

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