Productos Notables

Diferentes tipos de productos notables:

Binomio al cuadrado: Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

Simplificando:

Binomios con un término común: Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

Binomios conjugados: Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Binomio al cubo: Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

• El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

• El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

• El cubo del segundo término.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

• El cubo del primer término.

• Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

• Menos el cubo del segundo término.

Diferencia de cuadrados: Se llama diferencia de cuadrados a un binomio de la forma

a2 – b2

La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados

a2 – b2 = ( a + b ) (a – b )

Nótese que el término que cambia de signo en los binomios conjugados es el correspondiente al término que se resta en la diferencia de cuadrados. Así, si se desea factorizar una diferencia de cuadrados debe obtenerse primero

la raíz cuadrada de cada término de la diferencia y, posteriormente, construir

con ellas el par de binomios conjugados necesarios para la factorización.

Ejemplo 1

Factorizar 36x2 – 9y4

Solución

El proceso se describe en las siguientes tablas:

Descripción Diferencia de cuadrados

Se obtiene la

raíz cuadrada de

cada término de

la diferencia 36x2 - 9y4

6x 3y2

Descripción Binomios conjugados

Se construyen los

correspondientes

binomios

conjugados 6x + 3y2 6x – 3y2

Por lo tanto, 36x2 – 9y4 = (6x + 3y2) (6x – 3y2)

Factorización de una diferencia de cubos

La factorización de una diferencia de cubos a3 – b3 es el producto de un binomio y un trinomio

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la diferencia de cubos y el trinomio es muy semejante a un trinomio cuadrado perfecto, pero el término cruzado no es multiplicado por dos.

Ejemplo 1

Factorizar 125x3 – 27y6

Solución

El proceso se describe en las siguientes tablas:

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