Los axiomas de los números reales: Suma, producto y orden

Axiomas de cuerpo

Asumimos la existencia de dos operaciones, llamadas suma y producto, tales que a cada par de números reales X e Y la suma X+Y y el producto XY son números reales unívocamente determinados por X e Y y satisfacen los siguientes axiomas:

Axiomas de la suma

ASOCIATIVA:

[pic 1]

•  (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R.

CONMUTATIVA:

[pic 2]

• x + y = y + x para todo x, y ∈ R.

EXISTENCIA DE UN NEUTRO:

[pic 3]

• X + e = X
• Existe un elemento de R, denotado por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R.

EXISTENCIA DE UN INVERSO

[pic 4]

• Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que x + e = 0.

Axiomas del producto

ASO CIATIVA:

[pic 5]

• (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ R.

CONMUTATIVA:

[pic 6]

• xy = yx para todo x, y ∈ R.

EXISTENCIA DE UN NEUTRO:

[pic 7]

• Existe un elemento de R, distinto de 0, que denotaremos por 1 tal que 1x = x1 = x para todo x ∈ R.
• x. e = x      “e” es el elemento neutro y se llama 1.

EXISTENCIA DE UN INVERSO:

 [pic 8][pic 9]

• x. e = 1 el inverso multiplicado se escribe [pic 10]
• Para cada x ∈ R tal que no sea cero, existe un y ∈ R tal que xy = 1.

DISTRIBUTIVA:

[pic 11]

• Para todo x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz.
• (A+B) (C+D)= AC+AD+BC+BD

Axiomas de orden

Este grupo de axiomas se refiere a la ordenación de los números reales.

Definición: Se dice que la relación binaria ≤ (“menor o igual que”) establece una relación

de orden en un conjunto S ≠ ∅ si satisface las siguientes propiedades:

1.  Reflexiva: x ≤ x, ∀x ∈ S.
2. Antisimetrica: x, y ∈ S, x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.

3. Transitiva: x, y, z ∈ S, x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Supondremos que los n´umeros reales R est´an ordenados por una relaci´on de orden ≤ que

adem´as cumple los siguientes axiomas:

(a10) La relaci´on de orden es total:

∀ x, y ∈ R ⇒ x ≤ y ´o y ≤ x.

(a11) La relaci´on de orden es compatible con la suma:

∀ x, y, z ∈ R, x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z.

(a12) La relaci´on de orden es compatible con la multiplicaci´on:

∀ x, y, z ∈ R, x ≤ y , z ≥ 0 ⇒ x z ≤ y z.

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