El tiempo que demora el proceso de fabricación de un componente electrónico que está dividido en dos etapas. Se estima que el proceso en la primera etapa es una variable aleatoria que distribuye normal con media de 4,8 minutos y desviación estándar d

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Tarea semana 3

Nombre: Muestras aleatorias y distribuciones de muestreo.

1) El tiempo que demora el proceso de fabricación de un componente electrónico que está dividido en dos etapas. Se estima que el proceso en la primera etapa es una variable aleatoria que distribuye normal con media de 4,8 minutos y desviación estándar de 0,4 minutos. En la segunda etapa, el tiempo también se distribuye normal con media de 3 minutos y desviación estándar de 0,2 minutos. Suponiendo que los tiempos de ambos procesos son independientes, ¿qué porcentaje de las veces (se refiere a cuál es la probabilidad) la primera etapa demora más que la segunda etapa en a lo más 0,5 minuto?

2) Una máquina fabrica ampolletas que tienen una duración media de 700 horas y una desviación estándar de 150 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de duración en una muestra de 100 ampolletas sea menor o igual a 650 horas?

3) En una elección, el 52% de la población votó por el candidato A. Si antes de las elecciones se hubiera realizado una encuesta considerando un tamaño de muestra de 500 personas, ¿cuál hubiera sido la probabilidad de que el candidato A obtuviera menos de un 50% de votos, suponiendo que se ha mantenido la intención de voto y que todo el padrón electoral participó?

Desarrollo:

X: Tiempo que tarda la primera etapa de fabricación de un compuesto electrónico, en minutos.

Y: Tiempo que tarda la segunda etapa de fabricación de un componente electrónico, en minutos.

; Donde μ x = 4,8 minutos horas y σ x = 0,4 minutos.[pic 1]

; Donde μ y = 3 minutos y σ y = 0,2 minutos.[pic 2]

Como ambas variables aleatorias siguen una distribución de probabilidad de tipo normal, la esperanza o media de la resta de una con la otra, respecto a su duración, será igual a la resta de ambas esperanzas, es decir: .[pic 3]

De la misma forma, es posible restar las varianzas de ambas variables aleatorias de la siguiente forma:  Al ser variables independientes una de la otra, el término Cov (x,y) se reduce a 0, quedando: [pic 4][pic 5]

De esta forma se tiene:

Z: diferencia entre los tiempos de ambas etapas en minutos.

;  Donde μ = 1,8 minutos y  σ = 0,44 minutos.[pic 6]

De esta forma, la probabilidad de que la diferencia entre los tiempos de ambas etapas sea mayor e igual a 0,5 minutos se obtiene:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Es decir, la probabilidad de que la diferencia entre los tiempos de duración de ambas etapas sea superior a 0,5 minutos es del 9,85%.

2)

X: Tiempo de duración de una ampolleta, en horas, fabricada en una determinada fábrica.

; Donde μ = 700 horas y σ = 150 horas.[pic 10]

Se toma una población de tamaño n = 100, donde la media de la muestra puede ser estudiada como una variable aleatoria que se encuentra distribuida de la siguiente forma:

; manteniendo los valores anteriormente mencionados.[pic 11]

De esta forma, la probabilidad de que la media de una muestra de 100 ampolletas esté por debajo de las 650 horas se calcula de la siguiente forma:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Es decir, la probabilidad que la media de una muestra de 100 ampolleta, con las características mencionadas, sea cero es de un 0,0429%.

3)

Y: Cantidad de personas que votan por el candidato A en un total de 500.

Dado que se conocen los resultados finales y se asume un muestreo perfectamente aleatorio, la decisión de votar a favor o no a favor del participante A, de cada uno de los integrantes de la muestra, se asemeja a una serie de experimentos de Bernoulli, una distribución Binomial.

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